【摘 要】
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图计数问题在很多方面有应用价值,特别是在生物领域中.在图论中,典型的子结构计数问题包括生成树计数问题、支配数问题、匹配数问题.然而,对于一般图而言,图的子结构计数问题是困难的,甚至是NP完全问题.因而,具有特定结构性质的子图计数问题的研究具有非常重要的意义.本文主要在子图计数以及极端图的刻画方面做了研究.在子图计数方面,我们确定了最多四条边和最多四个点的所有子图的计数公式,并给出了子图计数的两个应
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图计数问题在很多方面有应用价值,特别是在生物领域中.在图论中,典型的子结构计数问题包括生成树计数问题、支配数问题、匹配数问题.然而,对于一般图而言,图的子结构计数问题是困难的,甚至是NP完全问题.因而,具有特定结构性质的子图计数问题的研究具有非常重要的意义.本文主要在子图计数以及极端图的刻画方面做了研究.在子图计数方面,我们确定了最多四条边和最多四个点的所有子图的计数公式,并给出了子图计数的两个应用.在极端图的刻画方面,我们研究的是对二部图中极值图的刻画情形.假设G是阶数为n的简单二部图,G的邻接矩阵记为A（G）,G的邻接矩阵特征多项式定义为φ（G;λ）=det（λI-A（G））=∑i=1 n ai（G）λn-i,其中ai（G）称为G的第i邻接系数.我们用Bn,m表示所有n个顶点m条边的连通二部图.如果满足a4（G）=min{a4（H）|H ∈ Bn,m},那么图G称为4-Sachs最优图.我们证明了每一个4-Scchs最优二部图都是一个difference图,并且推导出4-Sachs最优二部图的一些结构性质.特别地,在n≥5且n-1≤m≤2（n-1）这个范围,我们确定了唯一的4-Sachs最优二部图.最后我们给出了构造非同构同谱difference图的方法,否定了 Andelic[40]等人提出的关于difference图不存在非同构同谱图的猜想.
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