控制系统的设计主要以实际问题的数学模型为依据。然而，由于实际问题与数学模型之间不可避免地存在着误差（包括参数不确定性、结构不确定性和各种干扰等），因此，控制系统必然存在不确定性。为了应付系统的不确定性，人们提出了鲁棒（Robust）稳定性这一概念，即要求系统（反馈控制系统）在外来干扰的影响下也能比较稳定地工作。为综合考虑系统不确定性与外加干扰对系统的影响，G.Zames（[17]）于1981年提出了H∞控制问题，引入了灵敏度函数的H∞范数作为评价目标，研究如何使得干扰对系统的影响降到最低限度。由于H∞控制问题能够很好地反映系统的鲁棒性稳定性问题，因此，H∞控制问题的求解设计已成为当前人们考虑鲁棒性的首选方法。经过了近30年的发展，线性H∞控制已经取得了大量的研究成果，并逐渐形成了完整的理论体系，例如，Arujan Vander Schaft（[4]）做了许多出色的工作。同时，由于Ito公式的引入，许多人尝试将线性H∞控制的一些结果推广到随机的情形（[1]，[3]，[5]，[30]），并取得了许多有价值的成果。本篇论文在Zhang等人（[1]）的结果的基础上研究了线性随机H∞控制问题，利用一类Lyapunov线性矩阵微分方程的解，得到了反馈形式的线性随机H∞控制问题的解存在性条件。本文第2章延续并发展了Zhu在[2]中提出的LQ最优控制问题的Riocati矩阵方程迭代法，建立了用以刻画线性随机H∞反馈控制的一类特殊的Ricoati矩阵微分方程的解的迭代求解方法。 本篇论文的其他内容涉及最优控制理论。从经典的变分法到贝尔曼（Bellman[18]）动态规划理论和庞特里亚金（Pontryagin[19]，[20]）极大值原理，最优控制理论正不断地走向成熟。随着最优控制理论的不断发展，与极大值原理密切相关的哈密顿—雅可比（Hamilton—Jacobi）方法[25]也被赋予了新的内容（[1]，[3]，[4]，[5]，[6]）。而且，人们还发现在某些最优控制系统中哈密顿—雅可比方法的局限性（参见[8]及其参考文献）。因此，其它一些方法被引入了最优控制理论的研究，其中最重要的一种方法就是利用Lie级数展开的方法（[8]）对值函数进行粘性逼近（[21]），进而求解原最优控制问题。另外对一些奇异控制问题人们引入了最优化方法。在本文第3章的讨论中，我们引入了一个新的最优化方法－－Canonical对偶方法（[7]，[9]，[10]，[11]，[12]），解决了一类奇异最优控制问题。本文第4章则运用Lie级数方法讨论了一类具有Mayer形式的最优控制问题，并得到了一系列结论。 本文共分三章。 第一章给出一些有关H∞控制，最优控制，Riccati矩阵微分方程，Lie级数和Canonical对偶方法的背景知识。 在第二章中，针对一类线性随机H∞控制问题，建立了相应的一类Riccati矩阵微分方程，并运用Lyapunov矩阵微分方程迭代求解这一类Riccati矩阵微分方程，进而得到了线性随机H∞反馈控制存在性的一个充分条件，同时给出了一个算法及其一致收敛性的证明。最后，给出了一个Riccati矩阵微分方程求解实例，并比较了算法得到的数据与原方程精确解之间的差异。 本文第三章引入Canonical对偶方法，分析了一类奇异最优控制问题，得到了这类问题的精确解，同时总结出一个算法。通过一些实例演示了这一算法，并进行了推广。 本文第四章主要介绍了一类具有Mayer形式的最优控制问题，运用Lie级数展开的方法分析了这一类问题，得到了关于值函数的一阶和二阶估计式（估计式（4.2.4）—（4.2.7）），进而总结出一阶必要条件与二阶必要条件。4.4节分析了一个实例，并得到了更强的结果，同时总结出一套算法。