作为一种广泛使用的在线凸优化方法,在线梯度下降算法通常用来求解在线学习问题。它把在线学习的过程建模为一个连续地博弈问题。博弈的双方分别为学习者和未知环境。在每次博弈时,由学习者先出牌,它根据历史信息给出一个出牌策略,即决策模型。然后由未知环境再出牌,它根据学习者给出的决策模型给出一个损失函数,因此带来了具体的损失。大量的文献研究了在线梯度下降算法以及它的各种变种方法,并分析了它们的性能。相关工作通常使用“遗憾”来度量在线梯度下降算法及其变种方法的性能。它度量了由在线学习方法得到的决策模型与潜在的最优的学习方法得到的模型的距离。已有的相关工作通常假设最优的模型是恒定不变的,即不会随着时间而改变。这样的假设适用于静态的环境,而不适用于动态的环境。在动态环境中,最优的模型并非恒定不变,而是会随着时间而变化。在静态环境中的“遗憾”称之为“静态遗憾”,同样地在动态环境中的“遗憾”称之为“动态遗憾”。尽管已有的相关工作使用静态遗憾已经从各种方面充分地研究了在线梯度下降算法,然而在动态环境中对在线梯度下降算法的研究却十分缺乏。为了弥补这方面的空白,本文系统地研究了动态环境中的在线梯度下降算法,分析了在线梯度下降算法的无转换代价的动态遗憾,并将分析拓展到带有转换代价的动态遗憾,无投影的在线学习场景,以及去中心化场景中的在线学习问题。本文首先分析了在线梯度下降算法在对抗博弈动态环境中的无转换代价的动态遗憾。本文的分析表明当损失函数为凸函数时,在对抗博弈动态环境中在线梯度下降算法的无转换代价的动态遗憾为（?）,其中Dβ度量了环境中动态变化的范围,T表示模型经过了T轮更新。本文的分析表明在线凸优化问题的无转换代价的动态遗憾为（?）。因为在线梯度下降算法的无转换代价的动态遗憾与在线凸优化问题的无转换代价的动态遗憾相匹配,本文的分析表明了在对抗博弈动态环境中在线梯度下降算法是求解在线凸优化问题的最优方法。本文继续研究了在线梯度下降算法在对抗博弈以及非对抗博弈环境中的带有转换代价的动态遗憾。在非对抗博弈环境中,在线梯度下降算法的带有转换代价的动态遗价为（?）。其中1≤ζ≤2是转换代价中的常数,D度量了环境中动态变化的范围,T表示模型经过了 T轮的更新。而在对抗博弈环境中,在线梯度下降算法的带有转换代价的动态遗憾为（?）。研究发现了在非对抗博弈环境中在线梯度下降算法的动态遗憾受到转换代价的显著影响,而在对抗博弈环境中在线梯度下降算法的动态遗憾并不会受到转换代价的影响。当动态遗憾中带有转换代价时,研究分析发现在线梯度下降算法是求解动态环境中在线凸优化问题的最优方法。除此之外,本文提出了新的无投影的在线梯度下降算法,用于解决带有非光滑可行集的在线凸优化问题。研究分析了当损失函数为凸函数时它的动态遗憾为（?）。因为在线凸优化学习问题的动态遗憾为（?）。因此本文所提出的无投影的在线梯度下降算法是求解该类在线凸优化问题的最优方法。更进一步地,本文分析并研究了去中心化网络中的在线梯度下降算法的动态遗憾,并分析了它的动态遗憾为（?）。其中G表示损失函数的梯度的范数,σ2表示损失函数中的随机成分的方差,M度量了环境中动态变化的范围。研究分析发现了节点之间的通信交换机制对动态遗憾的影响,发现了该通信机制有助于减小损失函数中随机成分带来的动态遗憾,但是对损失函数中对抗成分带来的动态遗憾却没有影响。最后,本文提出了针对K均值聚类问题的方差减小的随机梯度下降算法、针对分布式机器学习问题的通信高效的随机梯度下降算法、针对“范数和”正则化问题的ADMM方法和对偶方法。大量的实验验证了所提出的方法的正确性和效率。