图的谱理论是图论和组合矩阵论的重要研究领域之一,主要涉及图的邻接谱,Laplace谱和距离谱等,在量子化学,物理,计算机科学,通讯网络以及信息科学等领域中均有广泛的应用。本论文主要研究了有k条割边的二部图,双圈二部图,有固定直径的单圈图以及有k条悬挂边的单圈图关于Laplace谱半径的极值图:由谱决定的一些图;同谱图;最小距离谱半径。全文共分为五章,第一章首先介绍了本文所用到的基本概念,术语和有关记号,其次介绍了图的Laplace谱理论和距离谱的研究背景,问题的提出以及相关问题目前的研究进展,最后介绍了本文得到的主要结果。在第二章中,我们讨论了一些二部图关于Laplace谱半径的极值图。在所有n个顶点和k条割边的二部图中,以及在所有双圈二部图中,唯一取得最大Laplace谱半径的图分别为K2,n-k-2k（1≤k≤n-4）,K2,3n-5（n≥7）,这里Km,nk是通过将星图K1,k（k≥1）的中心与二部图Km,n的一个n度点合并为一个点得到的图,其中k,m,n都是正整数。在第三章中,我们得到了有割点的图的Laplace特征多项式的公式。作为应用,我们得到了在所有有n个顶点和直径为d（3≤d≤n-3）的单圈图中,以及在所有有n个顶点和k（k≤n-4）条悬挂边的单圈图中,唯一取得最大Laplace谱半径的图分别为◇nd,□4k,这里◇nd表示由C4=v1v2v3v4v1通过粘n-d-2条悬挂边以及一条长为「d/2」-1的路到点v1,并且粘一条长为「d/2」-1的路到点v3得到的图,□4k表示由C4通过粘k条几乎等长的路到同一个顶点得到的具有n个顶点的图在第四章中,我们讨论了一些由它们的谱（或者Laplace谱）决定的图。我们首先证明了Knm和它的补图可以由它们的邻接谱和Laplace谱分别决定,然后我们证明了Un,p由它的Laplace谱决定,特别地,如果p是奇数,它也可以由它的邻接谱决定,接着我们找出了Un,4的所有同谱图,这里Knm表示由完全图Kn-m通过粘m条悬挂边到同一个点上得到的图,Un,p表示由Cp通过粘n-p条悬挂边到同一个点上得到的图。最后我们找到了一类图,它们不仅有相同的谱,Laplace谱而且有相同的距离谱。在第五章中,我们主要研究了图的距离谱半径。我们首先研究了当移动图的某些边时,这个图的距离谱半径发生的变化情况,然后,作为应用,我们得到了Gn,k（对应地,Knk）是所有有n个顶点和k个割点（对应地,k条割边）的连通图中具有最小距离谱半径的图,这里Gn,k表示由完全图Kn-k通过粘几乎等长的路Pl1+1,…,Pln-k+1分别到其点上得到的图。