【摘 要】
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整体域上阿贝尔簇的Tate-Shafarevich群蕴含了丰富的算术信息,是数论中极为重要的研究对象.然而,由于其本身的复杂性,人们目前对Tate-Shafarevich群知之甚少.著名的Tate-Shafarevich猜想断言,该群是有限的.这是数论中最重要的猜想之一,目前只在很特殊的情形下得到证明,一般的情形则远未解决.本论文主要研究Tate-Shafarevich群在循环扩域中的增长问题.具
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整体域上阿贝尔簇的Tate-Shafarevich群蕴含了丰富的算术信息,是数论中极为重要的研究对象.然而,由于其本身的复杂性,人们目前对Tate-Shafarevich群知之甚少.著名的Tate-Shafarevich猜想断言,该群是有限的.这是数论中最重要的猜想之一,目前只在很特殊的情形下得到证明,一般的情形则远未解决.本论文主要研究Tate-Shafarevich群在循环扩域中的增长问题.具体来说,我们解决了 K.Cesnavicius提出的关于给定阿贝尔簇的Tate-Shafarevich群在循环扩域中的无界性问题,并证明了椭圆曲线的Tate-Shafarevich群在固定循环扩张下的无界性.在第一章中,我们介绍论文的研究背景,并陈述论文取得的主要结果.在第二章中,我们回顾论文所需的一些基础知识,主要包括阿贝尔簇的定义和基本性质,整体域上阿贝尔簇的约化,Selmer群和Tate-Shafarevich群,交换代数群的扭转等.在第三章中,我们改进Mazur-Rubin所发展的关于阿贝尔簇的循环扭转的工具,这为证明我们的主要结果提供了关键性工具.在第四章中,基于Cesnavicius的想法,我们证明循环扩张中Selmer群的某类子群的增长与此扩张中“有效”分歧素位数目的数量关系,这是后面证明Tate-Shafarevich群无界性的基础.在第五章中,我们首先简单回顾类域论,然后研究Mazur-Rubin所引入的整体域的T-分歧,∑-分裂的Z/pkZ-扩张,这将帮助我们解决第六章遇到的一个技术性困难.在第六章中,基于第三章到第五章的结果,我们证明给定阿贝尔簇的Tate-Shafarevich群在循环扩域中的无界性.在第七章中,我们将Mazur-Rubin发展的奇素数次循环扩张中的2-下降法推广到奇数次循环扩张中,并由此证明椭圆曲线的Tate-Shafarevich群在固定循环扩张下的无界性.基于第六章发展的方法,我们证明主极化阿贝尔簇的二次扭转族的Tate-Shafarevich群在固定Z/2kZ-扩张中的无界性.
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