【摘 要】
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混沌在自然界中普遍存在,它的产生机理已经成为现代混沌研究的重要而又关键内容.众所周知,一维和二维的光滑自治系统无法生成混沌,有限维线性光滑系统的全局动力学行为能够被准确的预测.然而,有限维非线性光滑系统的全局动力学研究具有很大的难度,即便如经典的Lorenz系统,三维二次多项式系统的混沌行为,迄今为止都未被彻底解决,更不要说三维高次系统和次数至少为二的四维及更高维系统.因此,如何从具有简单形式的系
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混沌在自然界中普遍存在,它的产生机理已经成为现代混沌研究的重要而又关键内容.众所周知,一维和二维的光滑自治系统无法生成混沌,有限维线性光滑系统的全局动力学行为能够被准确的预测.然而,有限维非线性光滑系统的全局动力学研究具有很大的难度,即便如经典的Lorenz系统,三维二次多项式系统的混沌行为,迄今为止都未被彻底解决,更不要说三维高次系统和次数至少为二的四维及更高维系统.因此,如何从具有简单形式的系统来研究复杂的混沌特征,对由线性方程构成的分段线性系统混沌复杂性研究为混沌的产生机理找到一个有效路径和突破口,对揭示混沌运动本质具有重要意义.一方面,Shilnikov混沌理论中同宿环和异宿环等奇异环,提供混沌产生的一种途径,为理解混沌的本质提供一种重要思路.另一方面,基于分段线性系统设计的模型便于实现且能够展现出复杂的动力学行为,因而被广泛地应用于电路系统、保密通讯、机械工程等众多领域.无论是从理论观点还是实际应用都可以表明研究分段线性系统奇异环和混沌动力学的重要性.本文主要研究三维与四维分段光滑动力系统奇异环和混沌的复杂动力学.首先,通过分析稳定流形、不稳定流形和不连续边界,克服超越函数引起的困难,获得同宿环、异宿环存在性准则.进一步通过构造Poincar′e映射,利用符号动力系统和拓扑马蹄的相关理论,严格分析系统在同宿环、异宿环的邻域内的动力学行为,建立分段光滑系统混沌存在的充分条件,即Shilnikov型定理.所建立的Shilnikov型定理是光滑系统Shilnikov定理在分段光滑系统的补充和拓展.本文具体内容如下:第一章阐述混沌的发展过程及研究意义,简要叙述几种经典的混沌定义、分段光滑系统的研究现状及进展,回顾与研究内容相关的概念、定义和性质.第二章研究具有两个不连续边界的一类三维分段光滑系统的动力学,全面详细地讨论系统具有三种不同类型异宿环:（a）拥有两个不同鞍焦点平衡点的异宿环,（b）拥有一个鞍焦点和一个鞍点平衡点的异宿环,（c）拥有两个不同鞍点平衡点的异宿环.分别建立不同类型异宿环存在的判别准则,并给出严格的数学证明.同时,受Shilnikov理论思想的启发,通过构造Poincar′e映射及分析其性质,严格证明拓扑马蹄的存在,获得确保混沌不变集存在的Shilnikov型定理.进而,给出相应的具体实例,通过数值实验发现仿真结果与理论结果是一致的.第三章讨论具有三个区域的一类三维分段光滑系统的动力学,研究了同宿环的存在性、异宿环的存在性、同宿环和异宿环的共存、两个相异同宿环的共存,建立不同形式奇异环存在的充分条件,且给出严格的数学证明.基于同宿环、异宿环及其共存,分别给出对应此三种情形的Shilnikov型定理.特别地,对于奇异环共存和由共存导致的混沌行为,给出详细的分析过程.通过对满足条件的数值实例进行模拟,验证理论结果的正确性和有效性.第四章研究具有一个不连续边界的一类四维分段光滑系统的动力学,详细地分析系统沿着稳定流形和不稳定流形所展现的动力学行为.通过控制流形的方向,在一定条件下,系统具有一条同宿环.在同宿环存在的基础上,建立四维分段光滑系统Shilnikov型定理,并给出严格的证明.同时,通过数值仿真说明理论结果和分析过程的正确性.
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