【摘 要】
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张量为多重数组,一重数组即为一阶张量也为向量,二重数组即为二阶张量也为矩阵,三重数组即为三阶张量,三阶及其以上阶的张量称为高阶张量。张量的分解在数据压缩、图像处理、
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张量为多重数组,一重数组即为一阶张量也为向量,二重数组即为二阶张量也为矩阵,三重数组即为三阶张量,三阶及其以上阶的张量称为高阶张量。张量的分解在数据压缩、图像处理、量子信息等方面均有很好的应用。张量CP分解算法通常有数值算法和代数算法两种。数值算法主要应用于张量的低秩逼近,而代数算法则应用于精确的张量CP分解。本文研究四阶张量的Canonical polyadic(CP)分解问题。张量的CP分解就是将张量表示为一些秩一张量的和,且个数最少。假定张量T的CP分解的CP秩为R,因子矩阵为A,B,C,D.本文仅讨论因子矩阵C和D的Khatri-Rao积的秩小于等于R情形的CP分解代数算法:(1)因子矩阵C和D的Khatri-Rao积的秩等于R情形,本文给出了四阶张量CP分解的一个特殊算法,并证明了满足一定条件下该算法可以得到张量T的一个CP分解,且该分解是唯一的,这里的唯一性是指在等价类意义下的唯一性;(2)因子矩阵C和D的Khatri-Rao积的秩小于等于R情形,本文给出了四阶张量CP分解的一般性算法,并证明了算法在满足一定条件下所得分解是张量T的一个CP分解,且T的CP分解是唯一的。
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