【摘 要】
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关于以可压缩Navier-Stokes方程为典型特例的带耗散项的流体力学方程组定解问题基本波（例如粘性激波、稀疏波、接触间断和边界层解等）的非线性稳定性的研究一直是近年来偏微分方程研究领域的一个热点。关于这一问题,在小初值扰动情形下的相关结果已经比较完善,但是对于大初始扰动情形的情形,相应的结论还不多见。本博士学位论文主要研究在大初始扰动下几类可压缩Navier-Stokes型的方程组定解问题的整
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关于以可压缩Navier-Stokes方程为典型特例的带耗散项的流体力学方程组定解问题基本波（例如粘性激波、稀疏波、接触间断和边界层解等）的非线性稳定性的研究一直是近年来偏微分方程研究领域的一个热点。关于这一问题,在小初值扰动情形下的相关结果已经比较完善,但是对于大初始扰动情形的情形,相应的结论还不多见。本博士学位论文主要研究在大初始扰动下几类可压缩Navier-Stokes型的方程组定解问题的整体适定性以及其整体解大时间性态的精细刻画,所得到的结果包括在一类容许初始密度具有大的振幅（oscillations）的初始扰动下一维等摘可压缩Navier-Stokes方程内流问题弱粘性激波的非线性稳定性、大初始扰动下一维两流体可压缩Navier-Stokes-Poisson方程组外流问题边界层解的非线性稳定性以及一维可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程组Cauchy问题大初值整体光滑解的构造等。本博士学位论文共分四章:第一章是绪论,在介绍国内外同行在相关问题中所取得的主要研究进展的基础上,我们给出了我们所拟研究的问题以及所得到的结果。在第二章中,我们研究一维等熵可压缩Navier-Stokes方程组的内流问题。对该问题,Matsumura[120]给出了其整体解大时间渐进行为的完整分类。至于这些分类的严格数学证明,在小初始扰动的情形,Matsumura和Nishihara[127]得到了边界层解以及由边界层解和稀疏波所构成的复合波的非线性稳定性;施小丁[148]证明了超音速稀疏波的非线性稳定性;至于粘性激波,黄飞敏、Matsumura和施小丁[65]证明了粘性激波以及由边界层解和粘性激波所构成的复合波的非线性稳定性。而对大的初始扰动,文[29]得到了当初始能量充分小但是密度函数具有大的振幅时边界层解的非线性稳定性并且得到了超音速稀疏波的整体非线性稳定性。因此一个很自然的问题是能否对一类大的初始扰动得到粘性激波的非线性稳定性?这是我们第二章所关心的主要问题。在第二章中,通过利用能量方法和连续性技巧,我们对一类容许初始密度具有大的振幅的初始扰动得到了其弱粘性激波的非线性渐近稳定性（详见定理2.1）,整个分析的关键在于克服内流边界条件所导致的解的可能的增长。第三章主要研究两流体一维可压缩Navier-Stokes-Poisson方程组的外流问题。对该问题,文[26]研究了其边界层解、稀疏波以及由边界层解以及稀疏波所构成的复合波的非线性稳定性,文[186]进一步得到了其整体解收敛到边界层解的收敛率。值得指出的是,在文[26]中要求初始扰动在某个Sobolev空间中的范数充分小,而文[186]则进一步要求初始扰动在某个加权的Sobolev空间中的范数充分小这一更强的小性要求。在第三章中,我们得到了两流体一维可压缩Navier-Stokes-Poisson方程组的外流问题边界层解在大初始扰动条件下的非线性稳定性,并在该非线性稳定性结果的基础上,进一步得到了其外流问题的整体解收敛到边界层解的衰减估计。值得指出的是为了得到一维可压Navier-Stokes-Poisson方程组的外流问题的整体解收敛到边界层解的衰减估计,在非退化的情形,除了进一步要求初始扰动属于某个加权的Sobolev空间外,我们对初始扰动的要求与前面得到非线性稳定性结果的要求一样,但是对退化的情形,我们确实需要要求初始扰动在某个加权的Sobolev空间中的范数充分小。与一维可压缩Navier-Stokes方程的外流问题相比较,问题的关键在于如何控制由于电场项的出现而导致的一维可压Navier-Stokes-Poisson方程组的外流问题的解的可能的增长。第四章主要研究一维非等摘可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程组的Cauchy问题大初值整体光滑解的存在性。对于该模型的大初值整体适定性理论,就我们所知,只是对等熵情形有一些结果（见[2,6,9,38,51,155]及其所引文献）,至于非等熵的情形,还没有见到相关的结果。在第四章中,我们得到了一维非等熵可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程组Cauchy问题大初值整体解的存在性。与非等熵可压缩Navier-Stokes方程一样,关键在于如何得到密度函数和温度函数的正的上下界估计,但是Korteweg项的出现导致了一些分析上的困难。
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