数学生态模型解的渐近性主要包括解的吸引性、局部与全局稳定性、周期性、振动性等内容,这些性质刻划了系统局部或大范围的性态。通过对种群动力系统的这些性质的研究可以更好地指导人们利用自然、改造自然,这对于保护和挽救濒危的珍稀物种、保持生态系统的多样性和生态环境的可持续发展有着广泛的理论和现实意义。本文共分四个部分研究了三类生态模型解的渐近性和一类时滞Logistic模型的Hopf-分支问题。 本文第二章在已有模型的基础上,为了使模型尽可能地符合实际生态背景,建立了既具有离散时滞又具有连续时滞的Logistic模型。首先,利用特征值理论给出了模型无条件稳定性的充分条件,并说明了时滞Υ是局部无害时滞;其次,以滞量Υ为参数,应用Hopf-分支定理给出了该模型产生Hopf-分支的条件及分支值。 标准的Lotka-Volterra捕食模型均假定捕食者种群的平均捕食率只依赖于食饵种群的密度。近年来,大量的实验和事实表明:当捕食者不得不搜寻食物时,捕食者的增长率应是食饵密度与捕食者密度比率的函数,即所谓的“比率依赖的功能性反应函数”。同时,由于扩散和时滞在生态环境中常常是相伴随而发生,并且具有普遍性,扩散可以让濒危物种通过迁徙以改变生存环境而得到保护。综合这些因素考虑,本文第三章提出了具有时滞的非自治Lotka-Volterra型两捕食者-食饵扩散系统,利用重合度理论中延拓定理研究了该系统正周期解的存在性,结论表明,正周期解的存在性与时滞无关。 生态系统正平衡点的全局稳定性能够反映出种群系统最终处于共存状态,不会导致任一种群的绝灭。本文第四章讨论了具有时滞的比率型三种群捕食系统,通过构造Liapunov泛函的方法,研究了系统的局部渐近稳定性和全局渐近稳定性,推广了已有的一些结果。 在现实世界中,让濒危物种在不同类型的斑块间扩散(迁移),种群可以有更多的觅食和繁殖机会,以保护种群免遭捕获,进而维持了生态系统的动态平衡。同样地,实验和观察表明,通过反馈控制的方法也能达到种群的共存。本文第五章通过在竞争系统中引入控制变量,研究了具有反馈控制的两种群竞争系统。首先,利用比较原理证明了系统的一致持久性;然后,应用Brouwer不动点原理和构造Liapunov函数的方法讨论了正周期解的存在性、唯一性和全局吸引性,通过与该系统对应的无反馈控制系统比较,结论表明:反馈控制变量的引入能够扩大种群的生存空间,有利于整个系统的持续生存。