非线性分析已经被列为现代数学中的重要研究方向之一,因为它能非常好的解释自然界中的各种现象受到自然科学界和国内外数学界的重视.而非线性分析及应用作为非线性分析中的一个比较重要的分支,也已经得到具体而深刻的研究.众所周知,非线性算子不动点理论是解决非线性积分方程、非线性微分方程的有力工具.近年来,关于非线性算子不动点理论及应用的研究已经取得较大突破.人们借助非线性算子理论以及迭代序列的收敛速度来研究积分方程、微分方程解的存在唯一性以及上下解的存在性.作为一种重要的非线性算子的混合单调算子,也已经被广泛的研究.本文借助混合单调算子不动点理论研究了一类算子方程以及分数阶微分方程解的存在性及唯一性,并把得到的主要结果应用到相应的非线性微分方程的边值问题.根据内容,我们将本文分为以下四章:第第一一章章绪论,介绍了本文的研究课题.第二章在本章中,我们利用混合单调算子不动点定理研究了以下算子方程C(x, x)+Dx=x (2.1.1)正解的存在性及唯一性.本章中假定C为混合单调算子, D为减算子,且所采用的证明方法与[2]有本质区别.最后将其结果应用到解决一类带有扰动的微分方程边值问题解的存在性及唯一性.第三章本章借助混合单调算子理论研究了分数阶方程正解的存在性及唯一性,其中非线性项f具有混合单调性.为了突出混合单调算子的应用,我们首先利用广义凹算子不动点定理讨论了非线性项中含导数项的微分方程正解的存在性及唯一性.本章推广了[9,10]中的结果.第四章本章我们利用混合单调算子不动点理论,研究了如下奇异分数阶微分方程边值问题正解的存在性及唯一性:其中f:(0,1]×[0,+∞)×[0,+∞)→[0,+∞)为连续函数,且limt→0+f(t,·,·)=+∞