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本文主要考虑如下两类Hamilton系统(P1)和(P2)：J(·u)(t)+▽H(t，u(t))=0 a.e t∈[0，T]，(P1)其中J是标准的(2N×2N)-辛矩阵J=(ON IN-IN ON)，H(t，x)∈C1(R×R2N，R)，对每一个x∈R2N关于t是T-周期(T＞0).△2u(t-1)+▽F(t，u(t))=0，t∈Z，(P2)其中△u(t)=u(t+1)-u(t)，△2u(t)=△(△u(t))，F：Z×RN→R，F(t，x)对每一个t∈Z关于x是连续可微的，对每一个x∈RN关于t是T-周期的，T是正整数，Z是整数集，▽F(t，x)是F(t，x)关于x的梯度.
本文主要通过临界点理论中的极大极小方法，得到了具有部分周期位势的一阶Hamilton系统(P1)次调和解的存在与多解性及二阶离散Hamilton系统(P2)周期解的存在与多解性.主要结果如下：
定理1假设H(t，x)满足如下条件：(H1)H关于xi1,…,xip是周期函数；(H2)存在g∈L2/1-α([0，T]；R+)，h∈L2([0，T]；R+)及α∈[0，1)使得|▽H(t，x)|≤g(t)|x|α+h(t)，(A)x∈R2N，a.e. t∈[0，T]；(H3)存在[0，T]的子集G且meas(G)＞0及f∈L1(0，T；R)使得H(t，x)≥f(t)，(A)x∈R2N，a.e. t∈[0，T]；lim|PB(x)|→∞H(t,x)/|x|2α=+∞对(t，PAx)∈G×A一致的成立，PA(resp.PB)是R2N到A(resp.B)上的投影算子，这里R2N=A(+)B，A=span{ei1，…，eip}，B=span{eip+1，…，ei2N}，其中(ei)1≤i≤2N是R2N中的标准规范基，0≤p≤2N-2.则对所有的k≥1，问题(P1)至少存在p+1几何上不同的kT-周期解w1k,…，wp+1k并满足当k→∞时‖wik‖∞→∞，其中‖w‖∞=sup|w(t)|，i=1，2,…，p+1.
定理2假设存在整数r∈[0，N]使得(F1)F(t，x)关于xi(1≤i≤r)是Ti-周期的；(F2)存在常数M1＞0，M2＞0和θ∈[0，1)使得|▽F(t，x)|≤M1|x|θ+M2，(A)(t，x)∈Z[1，T]× RN，其中Z[a，b]：=Z∩[a，b]对每一个a，b∈Z且a≤b；(F3)当x∈{0}× RN-r且|x|→∞时，|x|-2θ∑Tt=1 F(t，x)→+∞.则问题(P2)至少存在r+1个几何上不同的周期解.
定理3设F满足(F1)，(F2)及(F4)当x∈{0}× RN-r且|x|→∞时，|x|-2θ∑Tt=1 F(t，x)→-∞.则问题(P2)至少存在r+1个几何上不同的周期解.
定理4设函数F满足(F1)和(F5)lim|x0|→∞▽F(t，x)=0关于t，x1,…，xr一致的成立，(F6)lim|x0|→∞▽F(t，x)=0t，x1,…，xr一致的成立，其中x0=(xr+1，…，xN)，则问题(P2)至少存在r+1个几何上不同的周期解.
推论1设F(t，x)关于xi，1≤i≤ N分别是Ti-周期的，则问题(P2)至少存在N+1个几何上不同的周期解.