【摘 要】
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众所周知,微分算子理论在数学理论中占有重要地位.它渗透到数学的各个领域,其中应用最广泛的算子之一就是Sturm-Liouville算子.随着常微分算子谱理论的广泛研究,算子谱的内容
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众所周知,微分算子理论在数学理论中占有重要地位.它渗透到数学的各个领域,其中应用最广泛的算子之一就是Sturm-Liouville算子.随着常微分算子谱理论的广泛研究,算子谱的内容得到极大发展,特别是关于谱的特征值研究更是取得了重大进步.越来越多的研究者研究Sturm-Liouville方程的反问题,特征值和特征函数的渐近估计式,特征函数的完备性以及Green函数等方面.在本文的第二章,我们研究了一类边界条件含谱参数的不连续Sturm-Liouville算子的反问题.边界条件含谱参数的不连续Sturm-Liouville算子的反问题有很多研究成果,我们在本章的开始介绍了Sturm-Liouville方程的研究背景和现状.我们在一个合适的Hilbert空间中定义了算子,使得我们考虑的边值问题的特征值与此算子一致.将经典正则的Sturm-Liouville问题的一些方法推广到具有不连续的相似问题上.构造了方程的基本解,得到了特征值的渐近估计式,讨论了谱的性质.最后我们定义了Weyl函数,证明了反谱问题的唯一性定理.在本文的第三章,我们研究了一类边界条件含谱参数的不连续四阶微分算子的性质.在一个恰当的空间中定义了一个新的算子,使得该算子的特征值与边值问题的一致,证明了此算子是自伴的,给出了基本解和示性函数的渐近估计式,证明了特征函数在Hilbert空间中的完备性,讨论了谱的性质,最后我们给出了问题的Green函数.
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