振动理论的研究始于18世纪的Newton时代.自上世纪80年代以来,随着研究的不断深入,无论是线性微分方程还是非线性微分方程,关于振动理论的研究内容和研究方法都得到不断的丰富和发展,尤其在近几十年,取得了大量的研究成果.振动理论作为微分方程三大定性理论之一,在控制学、经济学、生态学以及生命科学等领域应用广泛,因此,研究微分方程的振动性与其控制问题是十分有意义的.由于时滞动力方程能充分考虑到事物的历史、现时对未来状态变化的影响,与传统的微分方程相比,能更深刻、更精确地反映事物的变化规律,揭示事物的本质特征.时滞动力方程出现于自然科学和工程技术等诸多领域,比如,时滞网络系统的动力行为、人口动力学以及稳定性理论等.时滞动力方程因其在实际问题以及数学理论本身上的巨大影响,其动力学问题作为极具挑战性的研究课题一直以来都受到人们的广泛关注.时滞动力方程的振动理论是时滞动力方程理论的中心内容之一,也是定性理论的一个重要组成部分.由于受到时滞项的影响,时滞动力方程振动理论将会更加复杂而且更加具有理论和实际意义.本文主要利用各类不动点定理、不等式技巧、比较定理、Riccati变换以及特征值和特征函数的方法研究了几类时滞动力方程振动解与非振动解的定性性质,给出了振动解与非振动解的存在性、唯一性、振动准则以及方程振动解的相邻零点之间距离上界的估计,推广并改进了已有结果.本文的主要内容如下:第一章,简要概述了时滞动力方程振动性与非振动性的研究背景与发展现状,同时介绍了本文的主要工作.第二章,研究了二阶中立型时滞微分方程振动解的存在性.通过对中立系数的适当限制并且利用Krasnoselskii不动点定理以及不等式技巧得到该类方程振动解存在性的几个充分条件.第三章,研究了时间尺度上时滞动力方程非振动解的存在性及其分类.首先利用Schauder-Tychonoff不动点定理以及H?lder不等式等方法研究了一类时间尺度上二阶超线性Emden-Fowler型动力方程非振动解的存在性及其分类,给出了振动解与非振动解存在的充分必要条件;然后利用Banach压缩映像原理给出了具有正负项的二阶混合中立型时滞微分方程、高阶非线性混合中立型时滞微分方程以及具有分布式滞量的高阶混合微分方程非振动解的存在唯一性结果.第四章,研究了二阶非线性中立型时滞动力方程以及具有强迫项的非线性中立型分数阶偏微分系统的振动.利用比较定理、Riccati变换、相应的一阶微分不等式的相关性质、不等式技巧以及特征值和特征函数的方法,得到这两类方程的振动准则,对已有结果进行了改进和推广.第五章,研究了一类二阶非线性中立型时滞微分方程相邻零点之间的距离问题.利用不等式技巧、非线性分析以及构造新的函数迭代序列的方法,得到其振动解相邻零点之间距离的上界,对方程解的刻画更为精细.第六章,对本文的研究内容和主要结果进行了归纳和总结,并对今后的研究工作进行了展望.