【摘 要】
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在化学、生物等众多领域中，许多自然现象都可以用反应扩散方程来描述.近年来，反应扩散方程的分支等相关问题是学者们研究的热门课题之一.分支包括动态分支和静态分支两大类，本文
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在化学、生物等众多领域中，许多自然现象都可以用反应扩散方程来描述.近年来，反应扩散方程的分支等相关问题是学者们研究的热门课题之一.分支包括动态分支和静态分支两大类，本文主要研究系统的动态类分支:Hopf分支和Turing不稳定性问题.根据Turing不稳定性的定义，Turing不稳定性将引起系统不同模式形成，即Turing斑图.对于Turing斑图的研究，本文主要通过振幅方程去探究，其振幅方程是研究反应扩散系统的重要工具. 本文主要利用标准型、中心流形定理、稳定性定理及多尺度分析等数学方法对Gierer-Meinhardt系统在Neumann边界条件下的Hopf分支、Turing不稳定性及Turing斑图问题进行研究.具体内容如下: 1.研究了Gierer-Meinhardt系统在没有扩散项的情况下系统发生Hopf分支的条件以及利用标准型方法确定Hopf分支的方向问题，并讨论了系统能否从Hopf分支产生极限环的问题. 2.研究了Gierer-Meinhardt系统在有扩散项影响下扩散项对平衡点及分支极限环稳定性的影响，并用数值模拟验证分析结果. 3.利用多尺度分析，导出二维空间Gierer-Meinhardt系统的振幅方程，通过对振幅方程解的存在性和稳定性分析，得到了斑图选择的条件.最后利用数值模拟验证以上理论结果.
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