有限域上的指数和不仅是数论中一个基本的研究对象,而且在编码和密码学领域也有着广泛的应用。本文将利用有限域上的指数和决定分圆序列的线性复杂度和极小多项式,以及几类循环码的重量分布,给出常循环码满足厄尔米特对偶包含关系的一个方法,进而构造量子MDS码(即,极大距离可分码)。本文的主要研究成果包括如下三部分。首先,设p和l为不同的奇素数,l≠2,3,e是p-1的一个因子。我们计算有限域Fl上阶数为e=3,4,6的高斯周期的值。作为其应用,我们构造有限域F,上几类阶数分别为e=3,4,6的分圆序列,给出这些分圆序列的线性复杂度和极小多项式,再通过分圆序列的极小多项式来构造几类有限域Fl上长度为p的循环码。当满足一些特定条件时,我们给出分圆序列对应循环码的极小距离的下界。当l=3时,我们也给出几类三元广义分圆序列的线性复杂度和极小多项式。其次,设Fq为g元有限域,其中g为素数的幂。设Fr为Fq的一个扩域,其中r=qm,α为有限域Fr的本原元。假设n=n1m2满足gcd(n1,n2)=1且n|r-1。记N1=(r-1)/n1,n2-(r-1)/n2,g1=αN1, g2=αN2,g=g1g2。定义Fg上循环码为c={c(a,b)=(Trr/q(a+b),Trr/q((ag1+bg),…,Trr/q(ag1n-1+bgn-1)):a,b∈Fr},其中Trr/q表示Fr到Fq的迹映射。我们利用有限域上指数和的值分布表示上述循环码的重量分布,特别地,这类循环码包含一类二重循环码和一类三重循环码。最后,由厄尔米特(Hermite)构造法,可以利用有限域上满足厄尔米特对偶包含条件的常循环码来构造量子极大距离可分码。本文给出常循环码满足厄尔米特对偶包含关系的一个方法,运用此方法,不仅能够得到一些已知参数的量子MDS码,而且可以得到几类具有新参数的量子MDS码。