哥德尔定理对20世纪有深刻的影响,但目前国内有的人对哥德尔定理本身及其涉及的逻辑、形式化方法等存在误解,因此,有必要对这些误解进行纠正,澄清定理涉及的重要概念,力求正确理解哥德尔定理的意义。本文首先讨论哥德尔定理中的两种“完全性”的区别:第一,完全性定理中讨论的“完全性”是逻辑的性质,因为它不依赖于特定的模型或前提集的特性,而是研究逻辑对推理的语法刻画和语义刻画之间的关系。第二,不完全性定理的“完全性”是理论的性质,因为它依赖于特定的理论的前提集和模型的特性。完全性定理表明一阶谓词逻辑的语法后承和语义后承是重合的,它标志着一阶逻辑的成熟。不完全性定理表明任何足够丰富的形式系统都是不完全的理论,而有机械的证明验证是对形式系统的基本要求。接着,本文分析哥德尔定理的意义。本文纠正了一些误解,指出:哥德尔语句不是悖论;哥德尔定理并不否认数学是和谐的,没有直接表明人心胜于机器,没有完全推翻希尔伯特纲领,没有动摇逻辑基础,所揭示的不是逻辑的局限性,而是形式系统的局限性。本文认为哥德尔定理的结论揭示了形式化方法的局限性,而其证明技巧发展了形式化方法:不完全性定理的根本点在于证明了数学的足够强的子系统是不完全的,而不在于数学是不可完全的;完全性定理隐含的结论揭示了一阶语言的局限性;第二不完全性定理显示了形式化方法强大的表达能力和推理能力。本文指出形式化方法在数学、逻辑、哲学等领域有广泛应用,反对否定形式化方法的态度。本文认为哥德尔不完全性定理第一次揭示了“真”和“可证”的区别。真和可证的区别有两层意思:一是真和可证的命题集不是重合的,二是在形式算术中真不能作谓词而可证可以作谓词。哥德尔对真和可证的区别的发现比塔斯基要早。最后,本文论述了哥德尔定理产生的深远影响,指出哥德尔定理不仅促进了现代逻辑的发展,还影响了哲学、计算机科学、物理学等学科,以纠正“哥德尔定理影响很小,意义不值一提”的错误看法。