对一个微分方程而言,有两种常用方法可以离散化,一种是有限元方法,一种是差分方法。本文讨论的就是用这两种离散方法得到辛算法之间的一个联系。 给定一个椭圆方程,我们先找出这个方程的拉氏函数,用差分代替微分,得到离散的拉氏函数。如果这个拉氏函数是用哈密尔顿系统中的参数表示,那么可以得到哈密尔顿系统中离散的拉氏函数。关于离散的拉氏函数,可以进一步的用有限元法去离散。函数的哈密尔顿原理和两次外微分的幂零性,保证我们可以得到方程的离散格式,并且还有一个保辛结构和保多辛结构的性质。 哈密尔顿体系是动力学系统的重要体系,一切真实的、耗散可忽略不计的物理过程都可以表示成哈密尔顿体系。解哈密尔顿方程的离散算法就是辛算法。这篇论文的一个重要结果就是方程离散后得到的保辛结构和保多辛结构的性质,说明了我们用的是辛算法。 对微分方程我们也可以进行有限元离散,而对方程组用混合有限元法离散时,需要混合有限元满足一定的匹配条件,就是B.-B.条件。我们采用三维空间中一个满足B.-B.条件的混合有限元,去对哈密尔顿系统中离散的拉氏泛函进一步离散,并得到辛结构或多辛结构的离散“格式”。 对于所得到的辛结构或多辛结构,我们证明了保辛结构或多辛结构的充要条件就是相应的1-形式是闭的,并不要求1-形式为零,即不要求系统只在运动方程的解空间里。