自然界的诸多实际物理问题都可以用某种发展型偏微分方程(组)来描述,然而除了极少数发展型偏微分方程(组)能求出其解析解外,绝大多数的发展型偏微分方程(组)是无法求出其解析解的,最有效、最经济的方法是求其数值解。其中,有限体积元法和自然边界元法是两种常用的有效的数值计算方法。对于大型的实际的工程问题,当我们采用经典的数值方法离散时,会产生数以千万的未知量。在计算过程中,由于截断误差的不断积累,以至于计算到若干步后会出现浮点外溢,不收敛的情况。本文主要利用特征投影分解(Proper Orthogonal Decomposition,简记POD)方法对双曲型偏微分方程的有限体积元格式和抛物型、Sobolev型、双曲型偏微分方程的自然边界元格式做基于POD的降阶外推数值计算理论和计算方法的研究。在确保经典的数值模型具有足够高精度的前提下,这些基于POD的降阶外推有限体积元模型和自然边界元模型,可以极大地减少未知量和计算量,从而达到节省计算机存储空间和提高计算效率以及减缓截断误差积累的目的。此外,本文还利用误差估计来指导POD基的个数的选取,这些都是对现有的基于POD技术的降阶方法的改进和创新。本文共六章,主要内容包括以下四个方面:第一部分(第二章)将POD降阶外推方法与有限体积元法结合建立双曲型方程的降阶外推有限体积元格式。首先,构造了双曲型偏微分方程的时间半离散格式以及经典有限体积元法的全离散格式,给出了经典数值解的存在唯一性、稳定性和收敛性等理论分析。然后,建立基于POD方法的双曲型偏微分方程的有限体积元降阶外推格式,讨论了基于POD的降阶外推解的存在唯一性、稳定性和收敛性等理论分析,并利用误差估计来指导POD基的个数的选取。最后,用数值例子来验证理论方法的有效性和可行性。第二部分(第三章)主要是利用POD降阶外推方法对抛物型方程建立降阶外推自然边界元格式。首先,利用Newmark方法对抛物型方程进行时间半离散,并利用自然边界元法建立全离散格式,给出了经典数值解的存在唯一性、稳定性和收敛性等理论分析。然后,建立基于POD方法的抛物型偏微分方程自然边界元降阶外推格式,讨论了基于POD的降阶外推解的存在唯一性、稳定性和收敛性等理论分析。最后,用数值例子来验证理论方法的有效性和可行性。而且进一步分析了不同瞬像个数对POD降阶外推数值模型精确度的影响,并利用误差估计来指导POD基的个数的选取。第三部分(第四章)针对Sobolev型偏微分方程建立基于POD的降阶外推自然边界元法的研究。首先,构造了 Sobolev型方程的时间半离散格式和经典自然边界元法的全离散格式,分析了经典数值解的存在唯一性、稳定性和收敛性。然后,建立基于POD方法的Sobolev型偏微分方程自然边界元降阶外推格式,讨论了基于POD的降阶外推解的存在唯一性、稳定性和收敛性等理论分析。最后,用数值例子来验证理论方法的有效性和可行性。第四部分(第五章)为双曲型方程基于POD的降阶外推自然边界元法研究。首先,建立双曲型方程时间半离散格式和经典自然边界元法的全离散格式,分析了经典数值解的存在唯一性、稳定性和收敛性。然后,建立基于POD方法的双曲型偏微分方程自然边界元降阶外推格式,讨论了基于POD的降阶外推解的存在唯一性、稳定性和收敛性等理论分析。最后用数值例子验证理论的有效性和可行性。由此表明,该种方法不仅提高了时间离散的精度,而且还极大地减少了自由度和时间方向的迭代步数,从而达到减少实际计算中截断误差的积累,提高计算精度和计算效率的目的。