本文在前人对常微分方程初值问题的线性多步法公式状况研究的基础上,进行了进一步的探索研究。在前人提出线性多步法基本公式的概念及已推导出求解常微分方程初值问题的2-3步法全部基本公式的基础上,本文推导了4步法全部基本公式,并对其进行了筛选,选择出收敛公式。并研究了这些公式的误差和稳定性。同时,尝试使用一种新的方法构造线性多步法公式。本文工作如下:首先,在前人定义了线性多步法公式的基本概念的基础上,推导出求解常微分方程初值问题的4步法全部基本公式。然后,运用Matlab数值计算,应用线性多步法公式收敛条件,搜索出4步法全部基本公式中具有收敛性的公式,得到这些公式的分数形式的系数、误差主项系数、阶及绝对稳定区域,绘出其绝对稳定区域的图形,并进行误差及稳定域的研究。最后尝试使用一种新的方法构造线性多步法公式——用加权平均方法构造线性多步法公式。同时,给出了构造原理及判断构造公式优劣的标准。在本文中给出了两个构造新的线性多步法公式的数值试验,并对构造生成的新公式的收敛性、稳定性、阶、截断误差主项系数等性质进行分析。经试验证明,这种方法具有可行性,某些所得新公式在求解刚性问题中具有较好实用性。本文的研究对常微分方程初值问题数值方法及刚性问题的理论和应用研究具有较大意义,在前人的研究基础上,作了进一步的补充和扩展。