关于指数和的加权均值及其应用研究,一直以来都是数论研究中的重要课题之一.解析数论中的指数和、Dedekind和、Cochrane和、Gauss和、特征和、Kloosterman和等和式都有着悠久的历史和丰富的内涵,它们相互之间也有着紧密的联系.近年来,很多学者对这些问题进行了深入的研究,并且取得了许多研究成果.毫无疑问,这对数论领域的发展起到了非常显著的作用.基于对以上问题的兴趣,本文主要对解析数论中的二项指数和高次均值计算问题,Dedekind和、Cochrane和与其他三角和的混合均值计算问题进行了研究,并获得一些恒等式和渐近公式.此外,利用初等方法及倒数和、取整函数的性质,得到了关于二阶线性递推数列的一系列恒等式.具体来说,本文的主要结论如下：1、关于高次混合指数和的均值研究：主要利用初等方法、代数方法、复变函数论研究了四次和六次混合指数和的均值和广义二项指数和的四次均值计算问题,并得到了一些准确的计算公式和转换公式；2、关于Dedekind和与其他三角和的混合均值研究：主要利用Dedeki-nd和、二项指数和、二次Gauss和的定义、性质及解析方法建立了Dedekind和与二项指数和、Dedekind和与二次Gauss和之间的联系,研究了它们的均值计算问题,并获得了有趣的恒等式和渐近公式；3、关于Cochrane和与其他三角和的混合均值研究：主要利用初等方法、解析方法,以及Cochrane和、二项指数和、Kloosterman和的定义和性质研究了Cochrane和与二项指数和、Cochrane和与Kloosterman和的均值计算问题,并获得了一些有趣的计算公式和渐近公式；4、数论中的一些著名数列的无限倒数和的研究：应用倒数和取整函数的性质,研究了一些Fibonacci数列、Lucas数列和Pell数列的倒数和计算,并得到了一系列新的有趣的恒等式；5、研究了一些包含Fibonacci多项式和Lucas多项式的幂和的计算及Dedekind和与二阶线性递推数列的计算问题,并给出了一些关于它们的计算公式.同时,应用这些恒等式证明了R. S. Melham[34]提出的猜想.