分数阶延迟微分方程数值方法的研究

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延迟问题也称时滞问题,它在各个领域都有广泛应用,是目前各学科普遍面临的重要研究对象,分数阶延迟微分方程是其中一个新型的研究方向。与经典微分方程相比,分数阶微分方程能够更好的描述系统的动力学性质。由于它在众多领域显示出广泛的应用前景,目前对这一方向的研究在国际上掀起一股热潮。随着分数阶微积分理论的发展和现实的需要,现在它已经成功应用到科学和工程各个领域。然而,分数阶微分方程又有着与整数阶方程所不同的特性,因此,研究分数阶微分方程解的性质对实际计算具有重要意义。  本文的开始介绍了分数阶延迟微分方程的发展历史以及研究现状,对分数阶微分方程有了初步了解;随后介绍了分数阶微积分定义的相关理论。在此基础上,以分数阶微分方程为模型,探讨了其解析解的稳定性以及数值解的收敛性。首先,对于分数阶延迟微分方程,在介绍了李雅普诺夫稳定性之后,通过对模型方程进行拉普拉斯变换,得到其所对应的特征多项式和特征方程,利用拉普拉斯变换终值定理和复平面理论,研究了分数阶延迟微分方程的稳定性,给出方程的零解在李雅普诺夫意义下渐近稳定的条件。其次,针对分数阶微分方程,构造求解方程的数值方法。本文给出分数阶的龙格库塔方法,研究了数值方法的收敛性。结合树理论知识,建立了龙格库塔方法系数和树节点之间的对应关系,通过推导,得到数值方法的阶条件。随后给出阶条件的几个具体应用,为实际系统中出现的分数阶模型的求解提供了可行性。
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