【摘 要】
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本博士学位论文讨论了几类退化椭圆型方程及方程组问题,这些方程是带有奇异非线性项的半线性椭圆型方程和方程组,它们可以用来模拟各种不同的物理现象,在流体力学、生物等很多领域有着广泛的应用.关于这些方程和方程组解的性质的研究是近年来较热的一个课题.本文在一些加权Banach空间中建立新的Sobolev型嵌入定理,主要研究了退化椭圆型方程非负解的相关性质和相应的Liouville型定理,接着讨论了在径向和
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本博士学位论文讨论了几类退化椭圆型方程及方程组问题,这些方程是带有奇异非线性项的半线性椭圆型方程和方程组,它们可以用来模拟各种不同的物理现象,在流体力学、生物等很多领域有着广泛的应用.关于这些方程和方程组解的性质的研究是近年来较热的一个课题.本文在一些加权Banach空间中建立新的Sobolev型嵌入定理,主要研究了退化椭圆型方程非负解的相关性质和相应的Liouville型定理,接着讨论了在径向和非径向对称情况下退化椭圆型方程组非负解的相关性质和相应的Liouville型定理.整个论文主体部分共分六章.第一章,首先介绍带有奇异非线性项的半线性椭圆型方程和方程组的研究背景及发展现状,然后介绍本文的结构和主要结论.最后简要回顾本文要用到的一些非线性分析和椭圆方程的基本知识.第二章,首先在全空间中包含原点的有界开区域上建立了新的加权Banach空间嵌入定理,以及在全空间中得到了退化椭圆型方程一组正的奇异径向对称整体解,然后利用嵌入定理和整体解的性质,构造了退化椭圆型方程具有事先给定奇异点的正弱解.第三章中,把第二章中的加权项推广到更一般的情形,分别在有界和无界区域中证明了在更一般情形下加权Banach空间的嵌入定理,这就推广了著名的Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式,然后把这一章得到的嵌入定理应用到一组退化椭圆型方程中,得到了弱解的存在性及相关性质.第四章,在第三章的基础上,去除了加权项关键的假设条件,得到了有界和无界区域中加权Banach空间的嵌入定理,这就推广了第三章中建立的嵌入定理,用这些嵌入定理得到了全空间有界光滑区域上退化椭圆方程Dirichlet问题正解的存在性和正则性结果.第五章,首先在去掉原点的全空间上建立退化椭圆型方程组径向对称解的Liouville型定理,然后在去掉原点的单位球内讨论了正的径向对称解在原点附近的性质,最后利用Schauder不动点定理得到了单位球上Dirichlet问题的正解的存在性.第六章,除去第五章中解是径向对称的假设,利用球面平均和移动球面法得到了去掉原点的全空间上退化椭圆型方程组解的Liouville型定理.
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