【摘 要】
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精确对角化算法（Exact diagonalization）是用于研究量子多体物理学中各种问题的可靠数值方法,其研究范围包括凝聚态物理中强相关的晶格模型的化学性质,核结构和量子场论等。精确对角化算法的主要局限性在于计算量和内存需求随着系统规模的增长呈指数增长,在应用过程中需要对算法中矩阵与向量的存储方法进行优化,实现计算大尺寸系统的极值特征值的能力。随着计算量的增大,必须通过大规模并行将计算时间控
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精确对角化算法（Exact diagonalization）是用于研究量子多体物理学中各种问题的可靠数值方法,其研究范围包括凝聚态物理中强相关的晶格模型的化学性质,核结构和量子场论等。精确对角化算法的主要局限性在于计算量和内存需求随着系统规模的增长呈指数增长,在应用过程中需要对算法中矩阵与向量的存储方法进行优化,实现计算大尺寸系统的极值特征值的能力。随着计算量的增大,必须通过大规模并行将计算时间控制在合理时间内。为解决上述问题,本文的主要研究内容如下:1.针对精确对角化的存储性能瓶颈,通过CSR存储格式存储哈密顿矩阵减小精确对角化过程中的内存占用量,在保持计算效率的前提下实现了12格点的Hubbard模型的求解。在增加程序计算量的前提下,通过动态计算哈密顿矩阵的策略大幅减小了精确对角化的内存占用,实现了24,32和36格点的Hubbard模型的求解。2.通过将QR分解转换成列向量q1→qn的计算设计了并行QR算法,用于求解哈密顿矩阵的所有特征值与特征向量。在计算8格点Hubbard模型时,最大加速比为1.42。3.针对生成基本状态的算法在计算大尺寸系统需要耗费大量时间的缺点,提出了通过排列组合规律计算基本状态的算法,将算法时间复杂度由O（2M×M）降低至O（M!/（Nσ!（M-Nσ）!））。在计算36格点,8电子（N↑=N↓=4）的系统的基本状态时,耗费的时间从6837.4s降为1.3s,实现的加速比为5251。4.为了加速量子多体模型的求解过程,设计了并行MF-Lanczos算法。在计算单次Lanczos迭代中的矩阵向量乘法时,通过将矩阵H的动态计算过程按行均匀划分给不同的进程来加速求解模型的过程。在求解36格点10电子的Hubbard模型时最多扩展到了31416进程并保持了53.17%的并行效率。
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