Sasaki-Einstein度量和Sasaki-Ricci孤立子是Sasaki几何中的两类典则度量。奇数维的Sasaki-Einstein流形在超弦理论中扮演着重要的角色,引起了数学家和理论物理学家的研究兴趣和广泛关注。本文从横截Kahler几何的角度,研究了基本第一Chern类可被横截Kahler形式正数倍表示的紧致Sasaki流形上这两类典则度量的存在性问题和刚性问题。主要结果有三个方面： 首先,在没有非平凡Hamilton全纯向量场的紧致Sasaki流形上,我们证明了Sasaki-Einstein度量的存在性和能量泛函Ek的真性（properness）是等价的。另外,我们把能量泛函限制到Hamilton全纯向量场中求导,得到一系列全纯不变量,并证明了这些不变量本质上是Sasaki-Futaki不变量。 其次,我们利用泛函F的真性刻画Sasaki-Ricci孤立子的存在性,证明了在适当的假设条件下,Sasaki-Ricci孤立子的存在性和泛函F的真性是等价的。此外,我们得到了一个推广的Myers型直径估计。 最后,我们利用紧致Sasaki-Ricci孤立子上的Sasaki-Futaki不变量,刻画了Sasaki-Einstein度量和Sasaki-Ricci孤立子之间的间隙现象。