在群与图的研究中，图的对称性一直是一个热门问题，它主要通过图的自同构群具有某些传递性来描述，这类图的典型代表有Cayley图和Sabidussi陪集图． 关于Cayley图，一个比较有意思的情况是，当群G的连通3度非弧传递CayIey图不是G的GRR时，其自同构群的作用非本原，于是可得到原图的两个块图，即1-因子块图和基本圈块图．经研究发现，这两个块图有许多有意思的对称性，比如1-正则性，高弧传递性等．事实上，这两个块图都是群G的Sabidussi陪集图．此外，具体研究某些群的小度数cayley图的对称性在群与图研究中仍然占有比较重要的地位． 本文主要围绕上述问题进行研究，即得到具有有限非交换单群传递作用的1-因子块图的一些基本的性质，同时也给出了某些群的小度数Cayley图的分类及其基本性质．具体地，本文的主要结果有： 1．研究具有有限非交换单群传递作用的1-因子块图的结构，特别是1-正则性以及非CayIey图性； 2．利用有限非交换单群构造了4度1-传递图的无限族的例子； 3．交错群A<,6>的3、4度弧传递cayley图的完全的分类及其对称性的描述； 4．构造了一些交错群A<,6>的3、4度GRR的例； 5．确定了对称群S<,4>的3度弧传递图及其性质．