【摘 要】
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本学位论文主要研究了四维射影空间Q14中共形齐性超曲面.在不特别说明的情况下,本文研究的对象都是连通正则的超曲面.因为Q14是三种洛伦兹空间形式R14,S14,H14的共形紧致化,于是对Q14中共形齐性超曲面的研究等价于对R14,S14,H14中共形齐性超曲面的研究,因此我们不妨选取R14作为超曲面的外围空间.我们利用共形变换将R14中类空或类时超曲面提升到R26的光锥C15中,在共形变换群作用下
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本学位论文主要研究了四维射影空间Q14中共形齐性超曲面.在不特别说明的情况下,本文研究的对象都是连通正则的超曲面.因为Q14是三种洛伦兹空间形式R14,S14,H14的共形紧致化,于是对Q14中共形齐性超曲面的研究等价于对R14,S14,H14中共形齐性超曲面的研究,因此我们不妨选取R14作为超曲面的外围空间.我们利用共形变换将R14中类空或类时超曲面提升到R26的光锥C15中,在共形变换群作用下超曲面的共形几何研究等价于群O（4,2）作用下光锥中像的共形几何的研究.论文结构如下:绪论部分,我们首先介绍了R14中共形齐性超曲面的研究背景和国内外研究现状,然后对本文的研究内容做了简单的总结.第一章,我们首先介绍了射影光锥Q14模型,然后利用活动标架法给出了R14中超曲面的基本理论.第二章,我们研究了R14中连通正则类空共形齐性超曲面.我们首先给出了R14中类空超曲面的结构方程,Laplace算子以及标准数量曲率的表达式.其次,通过定义共形不变度量gc,共形不变曲率W,典则提升Y,共形切标架{Ei}和典则法标架ξ,我们给出了类空超曲面的一个完备共形不变量系统{W,E1,E2,E3}.最后,通过可积条件,我们构造出了所有的类空共形齐性超曲面的例子以及对应的共形变换子群,从而证明了类空共形齐性超曲面的分类定理.第三章,我们研究了R14中连通正则且形状算子可对角化的类时共形齐性超曲面.我们首先给出了R14中Ⅰ型和Ⅱ型类时超曲面的结构方程,Laplace算子以及标准数量曲率的表达式.其次,通过定义共形不变度量gc,共形不变曲率W,典则提升Y,共形切标架{Ei}和典则法标架ξ,我们给出了Ⅰ型和Ⅱ型类时超曲面的一个完备共形不变量系统{W,E1,E2,E3}.最后,通过可积条件,我们构造出了所有的Ⅰ型和Ⅱ型类时共形齐性超曲面的例子以及对应的共形变换子群,从而完成了Ⅰ型和Ⅱ型类时共形齐性超曲面分类定理的证明.第四章,我们研究了R14中连通正则且形状算子不可对角化的类时共形齐性超曲面.我们首先给出了R14中Ⅲ型类时超曲面的结构方程,Laplace算子以及标准数量曲率的表达式.其次,通过定义共形不变度量gc,共形不变曲率W,典则提升Y,共形切标架{Ei}和典则法标架ξ,我们给出了Ⅲ型类时超曲面的一个完备共形不变量系统{E1,E2,E3}.最后,通过可积条件,我们构造出了所有的Ⅲ型类时共形齐性超曲面的例子以及对应的共形变换子群,从而得到了Ⅲ型类时共形齐性超曲面的分类定理的证明.第五章,我们总结了以上的研究成果以及一些公开问题,并对未来研究方向进行了展望.
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