随着互联网、传感器、计算资源等技术和硬件的快速发展,数据产生的速度和体量都非常巨大,我们的社会进入了大数据时代。于是对大数据的有效探索、从中挖掘出有用的知识对提高事物运行效率、深刻认识事物发展规律和本质有着非常重要的意义。而这些数据常常是以矩阵的形式存在的,所以数据矩阵的研究分析是非常有意义的。如果我们把矩阵的行对应到一个样本,那么样本与样本之间是存在相似性的,矩阵的列看成描述样本的特征,那么特征之间也是存在相似性的。于是这种相关性就可以通过矩阵的秩来体现。现实问题中,我们得到的数据矩阵往往会存在缺失、污损、噪声等等的影响,所以原始数据矩阵并不满足低秩性。一个自然的想法便是研究如何重构出一个低秩矩阵来替换原始的数据矩阵。这就是低秩矩阵重构问题。现实中,有两类低秩矩阵重构问题普遍存在:一类是数据矩阵含有大量未知元素,希望在矩阵低秩性前提下通过优化算法对其补充,称为低秩矩阵填充问题;另一类是原始数据矩阵往往含有噪声的影响,希望去除噪声恢复出低秩数据矩阵,称之为低秩矩阵恢复问题。本文对低秩矩阵填充模型和低秩矩阵恢复模型进行了总结。低秩矩阵填充模型有带弹性网正则项的核范数最小化模型、核范数正则化的最小二乘模型、基于矩阵分解的填充模型、矩阵加权核范数最小化的非凸松弛模型等等;低秩矩阵恢复模型有基于高斯噪声的主成分分析模型、基于稀疏噪声的鲁棒主成分分析模型。在经典模型和算法的基础上,考虑了行稀疏噪声影响下的矩阵重构问题,分别推导了对应的交替方向乘子法。将改进的算法与传统算法进行数值试验对比,总结不同算法的精度和效率,为面向具体问题建模提供参考意见。此外,介绍了两个应用例子,一是搞笑段子排名:基于23500个用户对100个笑话的评分数据,用低秩矩阵填充模型进行未知评分预测,将笑话的平均评分作为笑话综合得分进行排名。二是视频中运动物体的提取:将不变的背景组成低秩矩阵部分、运动的物体组成噪声部分,从而利用低秩矩阵恢复模型进行运动物体提取。