无限维动力系统时间演化中的分岔问题广泛存在于物理、化学和生物等学科中,包括流体力学、固体力学、断裂力学、大气动力学、化学反应以及生物演化系统等等。例如,对流和热传导、凝聚态物理、界面生长演化中的非平衡相变问题,形成了一些远离平衡态的稳定斑图。还有粘弹性均质梁的非线性振动问题,在一定外载荷作用下失稳后出现的屈曲。这些自然界现象均密切相关于无限维动力系统的时空分岔问题。早期由R. Temam等人建立的无限维空间上的整体吸引子和近似惯性流形理论已经成为了研究无限维系统的动力学行为的有效工具。在此基础上,由无限维系统中心流形约化方法得到的吸引子分歧理论,成为了近年来无限维动力系统分岔研究的重要进展,也是本文采用的重要方法之一。本文还简要介绍了其他的分岔分析方法,包括拓扑分析、解析近似和数值计算方法；同时,也给出了在无限维空间中的平衡解的渐进稳定性定义。本文将在Hilbert空间上考虑多个无限维动力模型的分岔问题,包括描述一维和二维空间域上非平衡态界面生长演化的修改Kuramoto-Sivashinsky方程,具Kirchhoff型非线性梁振动方程和描述反应扩散问题的Burgers-Fisher方程。对于齐次问题,利用中心流形定理和吸引子分歧定理,直接得到方程的显式近似分岔解及其稳定性。当系统外部受某些自治扰动时,利用摄动法先对稳态方程进行分岔分析,然后利用无限维动力系统的先验估计方法对分岔出的稳态解进行稳定性分析,结果显示分岔临界点发生了偏移。本文还对一个受外部时间周期激励的复Ginzburg-Landau方程模型进行了讨论,结果显示在一个极限环附近发生分岔,得到了一个拟周期解的显式近似及其稳定性。这些结果将有利于追踪新的稳定状态,比如空间斑图结构,并有助于分岔控制。无限维空间上分岔问题的数值分析是前沿课题。本文利用差分方法验证了界面生长演化模型的相变问题,并得到了分岔图和分岔解的数值结果。另外,考虑一个外部激励的非线性强阻尼波动方程,结合多尺度方法和数值计算,对基于有限维近似惯性流形上的约化系统进行了稳态幅频响应分析,得到了长时间后系统的鞍结分岔图和分岔集。