极值图论是离散数学中图论方向的一个分支,极值图论研究满足某些性质的(最大或者最小)极值图。对于不同的图的不变量,我们都可以考虑他们的极值问题,例如图的顶点数,边数,最短圈,最长圈,染色数等等。更加抽象的来说,极值图论研究图的整体性质如何影响图的局部结构。图集F的Turan数,记为ex(n,F),是满足以下性质的图的边数的最大值:顶点数为n的图且这个图不含有任意的图F∈F为子图。当图集集F仅包含一个图时,设为F={F},我们用来ex(n,F)表示图F的Turan数。本文的具体内容可概括如下:·Turrn定理是极值图论的基石。Turrn定理断言不含完全图Kp+1作为子图的极值图是平衡的完全p部图,也就是每个剖分顶点集的大小尽可能的平均(任何两个剖分顶点集的大小最多相差1),记这个n个顶点的图为Tp(n)。在第二章中我们将给出Turan定理的若干证明,并且基于考虑补图形式的Turan定理,我们给出一个Turan定理的新的证明。在本篇文章的第三章中,令图G满足χ(G)≥3,我们将只考虑这类图G的Turrn数。经典的Erdos-Stone-Simonovits定理可表述为:如果图G满足χ(G)=p+1那么ex(n,G))=e(T(n))+o(n2)。令图￡是一个图集,图集￡的分解集,记为为M(L),是极小图集M满足以下的条件:存在一个L∈L以及一个充分大的t=t(L)满足L(?)M+Tp-1+(pt-t)。在这篇文章的第三章的第一部分,基于Simonovits的进程归纳法方法,我们证明了含有特定的分解集(ex(n,M(L))不依赖于n,或者￡L={Sk+1)的图的Turan类型极值问题。基于以上的结果及证明过程,我们给出了相交团的Turan数的一个新的证明,并且我们确定了不含相交团的所有的极值图。本篇文章的第三章的第二个部分,我们确定了至少包含一个奇圈的的k花图(k个圈相交于唯一一个顶点)的Turrn数,并确定了极值图。给定一个图H以及一个整数p,我们定义图H图的边扩张图:把图H的每一条边用一个顶点数为p+1的团代替,并且所有的新添加的顶点互不相同,记为Hp+1。在本篇文章的第三章的第三部分,我们研究当n充分大的时候任何图的边扩张图的Turan数。另外,本章的另一个主要目的是引起大家对Simonovits的进程归纳法的关注。· Erdos-Sos猜想可以描述为:如果一个n个顶点的简单图G的平均度大于k-2,那么图G包含顶点数为k的任意的树。在本篇文章的第四章的第一部分,我们证明了当图的顶点数是n=k+4时,Erdos-Sos猜想是正确的。在本篇文章的第四章的第二部分,我们考虑Erdos-Sos猜想的一种变型:给定n ≥ m和k ≥ l,研究不能包含所有的(k,l)-二部树的(n,m)-二部图中,边集的数值取到最大的值的极值图。我们确定了不能包含所有的(n,m)-二部树((k,2)-二部树,(3,3)-二部树)的(n,m)-二部图中,边集的数值取到最大的值的图。·在本篇文章的第五章中,我们确定了一些线性森林的Turan数以及极值图。令k·P3记为k个不相交的P3的并图。在第五章的第一部分,我们确定了ex(n,k.P3)并且刻画了对于所有k及n的极值图。这个结果证明了由Gorgol提出的猜想。令Fm是由不交路Pk1,...,Pkm所组成的图。在本篇文章第五章的第二部分,当Fm包含至多一个顶点数为奇数的路,我们确定了ex(n,Fm),对于所有的k和n。·图H的anti-Ramsey数是完全图Kn一种最大种类的颜色数的边着色,使得Kn不包含彩虹子图H(图H任意两条边的所染的颜色都不一样),记这个颜色数为AR(n,H)。在本篇文章的第六章中,我们确定了一些新的图类的anti-Ramsey数并且确定了极值染色,我们的结果推广了Jiang和Pikhurko 的结果。