传染病（infectious disease）是由多种病原体引起的一类疾病.随着病原体在人群中的进一步传播,传染病广泛流行.小至个人,它危乎个人的健康、生活状态乃至生命安全;大至社会,它对整个社会的经济、政治发展都会产生不可忽视的影响.始于17世纪60年代天花数学模型的提出,研究者不断尝试针对流行病学特征进行数学建模,研究感染率和恢复率等控制疾病发展的主要因素,并对疾病接下来的传播态势作出进一步的判断.至此数学模型越来越多地被用于检验传染病控制中的问题,例如预测疫苗接种战略对常见传染病的影响和确定针对大流行性流感的最佳控制战略.本次论文主要分为三个方面的研究工作:第一,以经典的SIRS传染病模型为基本框架,构建了一类带有非线性发病率、分段治疗函数的数学模型,该模型将医疗资源的有限性作为主要研究对象.分析发现当基本再生数小于1时,模型存在后向分支（系统同时存在无病平衡点与正平衡点）,即基本再生数₀小于1不再是疾病走向消亡的充分条件.此部分重点分析了模型平衡点的存在性和稳定性,得到了前后分支、Hopf分支以及Bogdanov-Taken分支的存在性,进而确定了极限环及同宿轨道的存在与否.第二,以第一部分的研究工作及结果为背景,在上述SIRS传染病模型的基础上进一步引入了非线性康复函数,重点考察基础医疗资源（病床数量）在传染病动力学中的作用.数学分析结果表明,非线性康复函数中参数(9（病床数量与人口比率）可作为关键参数决定整个数学模型的动力学行为,通过对模型的稳定性分析,证明了系统在某些特定条件下存在极限环,鞍结点分支,草叉分支以及Bogdanov-Taken分支.第三,建立了具有心理效应、非线性恢复率和饱和抑制效应的SI-SEIR禽流感流行病模型,进而研究禽流感病毒的传播和控制.以设定基本再生数为阈值作为前提,得到了关于平衡点的存在性以及局部稳定性结果,并通过利用几何方法以及构造李亚普诺夫函数、Dulac函数等手段,进一步证明了其全局稳定性.通过理论分析,揭示了饱和抑制效应、心理效应和有效医疗资源在该模型中的具体作用和影响,并通过数值模拟对结果进行了验证.