无线传感器网络(WSN)是由大量具有通信能力和计算能力的微小传感器节点,以无线的方式连接构成的自组织系统.在WSN中,当传感器节点被部署在人类不能到达或被敌方控制的环境时,节点将面临着各种各样的攻击.因此,如何保证WSN安全是一个很重要的研究课题,而密钥管理是保证WSN安全的基础,它的主要目的是为传感器节点建立共享密钥,从而为网络提供安全的通信链路.由于传感器网络在计算能力、存储空间、节点能量以及网络带宽上的局限性,传统的网络密钥加密方案已经不再适合WSN.在WSN密钥协议的研究中,由L. Eschenauer和V. D. Gligor提出的E-G密钥预分配方案是传感器网络密钥管理研究中的的第一个密钥分发方案.E-G密钥预分配方案所对应的拓扑结构我们称为随机密钥图.尽管E-G密钥预分配方案的性质已有不少的研究成果,但是多数的研究都假定传感器节点之间没有通信范围的限制,这与实际的网络情况不相符合.本论文研究随机密钥图的若干性质,给出了随机密钥图的完美匹配、传感器网络的孤立点数目的分布、随机密钥图和随机几何图的叠加图的连通性的阈值.内容安排如下：第一章介绍了本文的研究背景和主要的研究结果.第二章研究了随机密钥图、随机密钥二部图完美匹配的问题.首先根据Hall定理得到了随机密钥二部图存在完美匹配的阈值,然后由矩方法和构造法得到了随机密钥图存在完美匹配时的阈值.我们发现随机密钥图、随机密钥二部图存在完美匹配的阈值和相应的随机图、随机二部图存在完美匹配的阈值一致.第三章利用几何概率、耦合和标准化Poisson技巧,证明了部署在单位正方形区域上,无论n个传感器节点是服从Poisson分布还是服从均匀分布的传感器网络的孤立点数目都服从Poisson分布.第四章研究了关于随机密钥图和随机几何图的叠加图的连通性问题.与B. S. Krishnan等学者在2013年提出的两个棋盘叠加整个正方形区域的不同的方法,利用大量的小圆完全覆盖整个单位正方形区域来代替,改进了随机密钥图和随机几何图的叠加图连通性方面的结果,并发现这个结果与随机图和随机几何图的相交图的连通性的结果相似.第五章研究了随机相交图和随机几何图的叠加图的孤立点数目的分布.采用几何概率、Brun’s筛法得到随机相交图和随机几何图的叠加图的孤立点数目服从Poisson分布.本论文的主要创新之处如下：1.采取与M. Bloznelis不同的方法,得到了随机密钥图存在完美匹配的阈值.(1)证明除孤立点外,随机密钥图只有一个巨大的连通分支；(2)在巨大的连通分支内构造了一个除了至多一个非孤立点外,覆盖所有非孤立点的一个匹配.2.利用几何概率、耦合和标准化Poisson技巧,给出了传感器网络的孤立点数目服从Poisson分布.(1)证明了部署在单位正方形区域上,无论n个节点是服从Poisson分布还是均匀的传感器网络的孤立点数目都服从Poisson分布.而已有的文献只考虑了n个节点在单位圆面上服从Poisson分布的情形.(2)由于考察的区域是单位正方形区域,在证明的过程中考虑了边界效应,并得到边界效应对孤立点数目的影响为0.(3)利用Stein-Chen方法、标准化Poisson技巧和耦合方法给出了孤立点数目的分布.3.采取与B. S. Krishnan等学者提出不同的方法,研究了随机密钥图和随机几何图的叠加图连通性的0-1法则.(1)利用大量的小圆完全覆盖整个单位正方形区域来代替B.S.Kr-ishnan等学者在2013年提出的的两个棋盘叠加的方法.(2)改进了随机密钥图和随机几何图的叠加图连通性的0-1法则方面的一个结果.