【摘 要】
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本文综合运用临界点理论,变分方法以及分析技巧,研究了如下退化椭圆系统解的存在性和多重性：其中Ω为RN（N≥2）中的光滑有界区域,1＜p,q＜N,λ为正参数,Lu=-div（h1（x）|▽u|p2▽u）,Lv=-div（h2（x）|▽v|q2▽v）,并且α≥0,β≥0满足（α+1）/p+（β+1）/q=1,系数函数a,d,b∈C（Ω）∩L∞（Ω）,以及F∈C1（Ω×R2,R）,（Fu,Fv）表示函数
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本文综合运用临界点理论,变分方法以及分析技巧,研究了如下退化椭圆系统解的存在性和多重性：其中Ω为RN（N≥2）中的光滑有界区域,1＜p,q＜N,λ为正参数,Lu=-div（h1（x）|▽u|p2▽u）,Lv=-div（h2（x）|▽v|q2▽v）,并且α≥0,β≥0满足（α+1）/p+（β+1）/q=1,系数函数a,d,b∈C（Ω）∩L∞（Ω）,以及F∈C1（Ω×R2,R）,（Fu,Fv）表示函数F关于（u,v）的梯度.系统（0.1）的退化性是被考虑非负可测的扩散系数h1（x）,h2（x）允许在Ω上消失. 在第二章中,首先假设非线性项F满足强制性条件对x∈Ω一致成立,则当λ＜A1且充分靠近λ1时,利用Ekeland变分原理和山路引理,证明了退化拟线性椭圆系统（0.1）至少存在三个解.然后假设非线性项F满足非二次条件对x∈Ω一致成立,则当λ∈（λ1,λ2）时,利用鞍点定理证明了退化拟线性椭圆系统（0.1）至少存在一个解.这里λ1是（0.1）对应的特征值问题的第一特征值,函数φ1是特征值λ1对应的标准化特征函数（φ1的两个分量函数在Ω上是非负的）,λ2的具体定义将在第二章中给出. 在第三章中,讨论退化椭圆系统（0.1）当p=q=2,α=β=0时的特殊情形.首先利用紧自伴算子的谱理论,研究了退化椭圆系统（0.1）对应的线性特征值问题获得了问题（0.2）的一列递增的无界的特征值序列0＜λ1＜λ2≤…≤λκ≤….然后,根据特征值及其特征函数的性质,对所研究的Sobolev空间进行直和分解,当非线性项满足如下强制性条件（F1）（或者（F2）,或者（F3）,或者（F4））时, （Fl）对x∈Ω一致成立. （F2）对x∈Ω一致成立. （F3）对x∈Ω一致成立. （F4）对x∈Ω一致成立.利用环绕定理和局部鞍点定理,证明了当p=q=2,α=β=0时,退化椭圆系统（0.1）在任意高阶特征值附近至少存在两个解.
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