本文所考虑的是有限,简单,无向图.令G=(V,E)是一个图,k为正整数.若存在一个映射φ：V→{1,2,...,k}满足对任意xy ∈E,有φ(x)≠φ(y).这就等价于图G的点集V被剖分成V1,V2...,Vk这k个不同的子集,使得子图G[Vi]中没有边,i ∈{1,2,...,k}.若G有一个k-染色φ,则称G是k-可染的.设d1,d2,…,dk是非负整数,且G=(V,E)是分别以V及E为顶点集和边集的图.图G的一个(d1,d2…,dk)-染色是一个映射φ：V→{1,2,…,k}使得子图G[Vi]的最大度至多为di,其中Vi={υ∈V|φ(υi)=i}若G有一个(d1,d2….dk)-染色,则说G是(d1,d2…,dk)-可染的.若d1=d2=…=dk=d,则称G是d-非正常k-可染的,或(k,d)*-可染的.注意到G是正常k-可染的等价于它是(0,0,...,0)-可染的；若G是(d1,d2…,dk)-可染的,则它一定是(d’1,d’2…,d’k)-可染的,其中d’i≥di,i= 1,2,…,k.Steinberg在1976年提出了一个著名的猜想：不含4-圈和5-圈的可平面图是3-可染的.由于Steinberg猜想的解决难度很大,Erdos认为可以先研究这样一个条件放宽一些的问题：是否可以找到一个正整数C(≥4l),使不含4-圈到C-圈的平面图是3-可染的.围绕着这个问题和猜想,后人展开了相关的研究并取得了一系列的成果.本论文分为三章,主要围绕以上的猜想及相关问题展开研究,所得结论改进了现有的一些结果.第一章介绍了本论文所涉及的相关定义与符号,并做了一个关于正常染色和非正常染色的研究现状的综述.第二章介绍不含4-圈及i-圈(i ∈{5,7,8})的平面图是(2,0,0)-可染的.可染的.第三章介绍不含4-圈及6-圈的平面图是(1,0,0)-可染的.