论文部分内容阅读
本文主要研究非交换留数、重力、共形不变量和几何量子化公式.近些年,非交换几何成为当前十分活跃的研究领域,它对几何、拓扑、数论,以及物理都产生了重要的影响.非交换留数被发现于Adler和Wodzicki的相关研究文献, Wodzicki留数（或非交换留数）应用在计算谱三元组的Chern-Connes特征公式中,在非交换几何中扮演着非常重要的角色.对于偶数维紧致定向共形无边实流形, Connes利用Wodzicki留数构造了共形Fredholm模并构造了共形不变量.利用共形不变量, Connes解释了Polyakov作用及其4维情况类似. Ugalde将Connes的结果推广到高维情况并在平坦情况下明确的表示出Connes的共形不变量.本文第二部分主要推广Connes的结果到带边流形,得到了紧致实流形和复流形的双共形不变量对.重要的是, Connes敏锐的观察到Dirac算子逆平方的非交换留数与Einstein-Hilbert作用成比例,而且被Kastelr和Kalau、 Walze分别独立的给出了证明,现在称之为Kastler-Kalau-Walze定理. Ponge利用Wodzicki留数和算子求迹定义了低维黎曼流形的体积,并利用局部黎曼不变量的积分定义了紧致黎曼流形的低维体积.进一步, Fedosov等结合热核展开方法给出了带边流形的非交换留数表示.另外, Gilkey,Branson和Fulling得到了非极小算子的热核系数的展开公式.利用Boutet de Monvel代数上的非交换留数, Wang将Connes的框架推广到带边情形.对于带边旋流形和相关的Dirac算子, Wang定义好了和Dirac算子相关的带边流形低维体积并得到了这种情况下的Kastler-Kalau-Walze类型定理.对于偶数维旋流形, Ackermann和Tolksdorf证明了与带挠率的Dirac算子平方相关的Lichnerowicz公式.本文第三、四、五部分着眼于带边流形的非交换留数,讨论了与一些算子相关的非交换留数并用其导出了相应的重力作用.另一方面, Atiyah-Segal-Singer等变指标定理在几何研究领域中发挥着重要的作用.在1982年,出现了一个关于群作用的有趣的猜想.对于量化与约化交换的想法,Guillemin和Sternberg给出了一个精确的数学公式,定义出了几何量子化.对于偶数维spinc流形, Fuchs证明了Konstant类型公式并且通过Konstant类型公式得到了切割公式. Liu和Wang将Freed奇数维指标定理推广到等变情况并且证明了奇数维spin流形的Atiyah-Hirzebruch消灭定理.本文第六部分重点利用等变指标定理讨论奇数维几何量子化公式.全文共分为六章,本文第一部分,主要回顾Boutet de Monvel代数和带边流形的非交换留数基础知识.本文第二部分,推广Connes的结果到带边流形,得到了实流形和复流形的双共形不变量对.对紧致实流形（复流形）,用Wodzicki留数和d算子（ˉ算子）构造了双共形不变量.在平坦的情况下,计算了这两类双共形不变量.本文第三部分,利用热核展开的方法证明了与非极小算子相关的带边流形的Kastler-Kalau-Walze类型定理,并结合非交换留数导出了边界重力作用.本文第四部分,讨论了与sub-Dirac算子相关的紧致带边叶状结构的低维体积,得到这种情形下的Kastler-Kalau-Walze类型定理.本文第五部分,主要考虑与带挠率Dirac算子相关的紧致带边流形的非交换留数,对一类特殊的Dirac算子（即Dolbeault算子）给出了相关低维体积表示.本文第六部分,主要讨论了Freed奇数维指标定理的spinc推广并且通过这些等变指标定理证明了相关的几何量子化公式.