一类高维小波乘子的刻划及应用

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小波构造一直是小波分析研究中的核心问题之一.到目前为止,一维2-进制小波与小波标架的研究已取得丰硕的成果,高维小波分析的成果远不如一维情况丰富.这是由于一般伸缩矩阵对应格点集的几何性质的复杂性所致.近年来,行列式绝对值为2的伸缩矩阵对应的小波引起了不少学者的关注.其原因是:一方面在这种情况下,由多分辨率分析构造的小波,小波有明确的表达式,小波个数为1,这一性质可以降低计算的复杂性;另一方面,张量积小波强加给自然信号一个不必要的乘积结构,这对自然的信号来讲是极不自然的.与张量积小波相比,这种小波克服了上述局限性,有希望建立各向同性的分析.   小波乘子是构造小波的方法之一,它可以实现由一个小波得到多个小波的计划.关于一维情况,由Texas AM与Washington大学的两个研究小组1998年联合发表文章,引入和刻划了一维2-进制小波乘子.之后2002年李云章,2004年李登峰、程俊芳,2010年Li, Dai, Xin等人研究了二维情况下伸缩矩阵行列式绝对值为2的小波乘子.本文研究一般高维情况下伸缩矩阵行列式绝对值为2时的小波乘子.文章给出了七类乘子的刻划,得到了乘子的表达式.作为乘子的应用,证明了几类小波集合的弧连通性.本文主要结论如下:   定理2.3.1.设A是一个满足|detA|=2的d阶伸缩矩阵,则对Rd上的任一可测函数f,下列条件是等价的:   (1)在Rd上几乎处处有|f(·)|=1,且κ(·)=f(A*)/f(·)是Zd-周期的.   (2)f是MRA A-小波乘子.   (3)f是A-尺度函数乘子.   (4)f是A-小波乘子.   (5)f是A-PFW乘子.   (6)f是半正交A-PFW乘子.   (7)f是MRA A-PFW乘子.   (8)f是半正交MRA A-PFW乘子.   定理2.4.1.设A是一个满足|detA|=2的d阶伸缩矩阵,集合E满足{(A*)nE: n∈Z}为Rd的一个分划,κ(ξ)是一Rd上模为1的Zd-周期可测函数,且g(ξ)是定义在E上模为1的可测函数.定义则有f是一个A-小波乘子.相反地,A-小波乘子均可由上述方法构造.   定理4.2.1.设A是一满足|detA|=2的d阶伸缩矩阵,ψ0是A-小波(或MRA A-小波,半正交MRA A-PFW, MRA A-PFW,半正交A-PFW,A-PFW及A-尺度函数),定义集合Mψ0:={ψ:(Ψ)(·)=f(·)ψ0(·), f是A-小波乘子},则Mψ0是弧连通的,即对任意的ψ1∈Mψ0,存在连续映射θ:[0,1]→L2(Rd)使得θ(0)=ψ0,θ(1)=ψ1,且对任意的f∈[0,1],有θ(f)∈Mψ0.   定理4.3.1.设A是一个满足|detA|=2的d阶伸缩矩阵,则MRA A-小波全体作成的集合是弧连通的,即若ψ0,ψ1是任意的两个MRA A-小波,一定存在θ:[0,1]→L2(Rd)的连续映射使得对任意的f∈[0,1]有θ(0)=ψ0,θ(1)=ψ1,且θ(t)也是MRAA-小波.
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