传统的信号处理方法包括线性滤波器等信号域的处理方法和傅里叶分析等变换域的处理方法,它们被广泛用于解决工程领域中遇到的适定性问题(well-posed problem)。然而,随着研究的深入与技术的快速发展,工程领域中遇到的非适定性问题越来越多。传统的信号处理框架已经很难满足人们对于处理性能的要求。随着凸优化理论的发展,许多基于凸优化理论的新型信号处理方法开始被应用在工程领域中。由于凸优化框架的灵活性以及求解的稳定性,这些新的信号处理方法不但能解决传统方法所不能解决的某些非适定性问题,而且能获得比传统方法更好的处理性能。目前,凸优化理论还在不断发展之中。因此,有必要学习和利用新兴的凸优化理论来解决实际的工程问题。压缩感知(compressed sensing,CS)、矩阵的稀疏低秩分解(low-rank and sparse decomposition,LRSD)和跨模态(cross-modality)滤波器是近年来发展较快的三种新型信号处理方法,它们在众多的工程问题中得到了应用并取得了很大的成功。因此,本文将首先从凸优化的角度对这些方法进行分析,探讨这些方法与凸优化之间的关系并总结其解决实际问题的一般思路。然后,考虑到脉冲信号、图像与视频都是具有代表性的多维信号,本文将针对这三种信号的处理展开研究。具体而言,本文提出了一种使用窄带发射信号的高分辨检测方法、一个深度图的恢复方法和一个提升视频压缩质量的方法。主要工作以及取得的研究成果如下:1.提出了一种可以使用窄带信号实现高分辨率检测的超声检测技术。针对窄带超声检测中出现的回波信号严重混叠问题,结合压缩感知理论与奇异值分解,提出了一种基于凸优化的解耦方法,实提高了窄带信号探测的分辨率。首先将超声检测中脉冲信号的分离问题建模为一个非凸的优化问题,然后以CS理论为指导将其转化为凸优化问题。在此基础上,通过奇异值分解来提取发射的脉冲和回波信号的主要成分,并对字典进行压缩,最后将高维的优化问题转化到一个低维的子空间内进行求解。由于压缩感知理论中没有对带宽进行限制,因此所提方法可以实现传统方法所不能实现的窄带脉冲信号的分离。仿真实验表明,所提方法可以处理加性噪声、频率丢失、相位抖动等类型的信号失真,并且具有比现有其他方法更好的信号分离性能,能有效地分离在信号域严重混叠的窄带脉冲信号。在真实的超声数据上的实验表明,所提方法同样可以有效地提高超声成像系统的距离维分辨率。2.提出了一个恢复结构光深度数据的统一框架及其对应的新型局部滤波器。针对Kinect深度数据的特殊噪声以及边缘不对齐等问题,提出了一种结合局部滤波与深度正则项的凸优化模型并对其建立了近似求解算法,实现了快速精确的Kinect深度数据恢复。首先从凸优化的角度将深度数据恢复问题建模为能量最小化问题,以保真项的形式考虑设备的数据特性,并以正则项的形式考虑对现有的跨模态滤波器的改进,得到一个可以同时进行深度去噪和数据漏洞修补的框架。在此框架的基础上,通过分析所提优化问题的求解方法,提出了可以逼近求解过程的局部滤波器。为了能量化评估深度恢复的质量,笔者还模拟真实设备的数据特性建立了一个专门的数据库,并在此数据库上对现有的主流深度恢复方法的各项指标进行了详细的测试。实验结果表明,所提的深度数据恢复方法在各项指标上都比其他方法更好,具有最高的深度恢复精度。3.针对由固定摄像机拍摄到的视频,提出了一种提高现有编码器编码效率的方法。针对背景固定视频的压缩性能有待进一步提升的问题,通过矩阵的低秩特性来描述视频的时间冗余性,提出了一种基于LRSD的视频压缩方案,提高了此类视频的压缩性能。并建立了一种增量分解的优化模型,减轻了内存需求过大的负担。考虑到由固定摄像机拍摄到的视频中具有大量背景冗余信息,而低秩和稀疏这两种属性恰好能以一种紧致的方式来描述视频的背景成分和前景成分,笔者将视频中背景和前景的分离问题建模为矩阵的LRSD问题,然后从凸优化的角度对其进行求解。在得到低秩的背景成分和稀疏的前景成分之后,再利用现有的编码器对其进行压缩。实验结果表明,所提方案可以有效地提升现有主流编码器的压缩质量。尤其是在比特率较低的情况下,所提方法可以带来高达5 dB的压缩质量提升。为了降低现有矩阵分解算法的内存需求以满足大规模视频处理的需要,笔者还提出了一种增量化的矩阵稀疏低秩分解算法。所提的算法包括增量低秩分解和增量稀疏分解两个步骤。这两个步骤不但有效降低了计算LRSD时所需的内存,而且可以根据不同的视频压缩方案来单独使用或者联合使用,具有很高的灵活性。因此与标准的LRSD算法相比,所提的增量化算法更适合于实际的视频压缩。