【摘 要】
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在函数型数据分析中,检验问题也是该领域非常重要的一部分.随着技术的不断发展,使得收集和储存大量的数据成为可能,例如生物的基因表达数据,股票的交易数据,以及音频数据等.研究样本间的特征是否相同,变量之间的关系建立的是否合理,对于进一步的模型建立及分析有实际意义.例如单样本和两样本均值检验问题,函数线性模型是否存在线性关系的检验问题等.在Horvath和Kokoszka（2012）的函数型数据的应用推
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在函数型数据分析中,检验问题也是该领域非常重要的一部分.随着技术的不断发展,使得收集和储存大量的数据成为可能,例如生物的基因表达数据,股票的交易数据,以及音频数据等.研究样本间的特征是否相同,变量之间的关系建立的是否合理,对于进一步的模型建立及分析有实际意义.例如单样本和两样本均值检验问题,函数线性模型是否存在线性关系的检验问题等.在Horvath和Kokoszka（2012）的函数型数据的应用推断中研究了一系列的检验问题,文中将无穷维的变量投影到有限个函数主成分基底上,使得无穷维变量转化成有限维的变量,从而针对有限维的变量提出检验统计量.估计和检验方法可以分为参数和非参数检验,这类方法在主成分估计的较好的情况下表现出非常好的大样本性质.伴随着各类数据复杂性的增加,有限维的主成分（通常主成分个数p小于5）并不能充分描述数据的统计特征,然而传统的检验统计量对于高维的情形,尤其是样本量较小的情况,Bai和Saranadasa（1996）指出了它们的估计检验将会失效.在函数型数据预处理时,通常有两种形式:一种是将连续型的变量离散成高维的多元变量,例如等间隔的1000个格子点,则格子点个数即为变量的维数;另外一种利用K-L展开（Karhunen-Loeve expansion）将连续型的变量在基底下展开,基底个数即为变量的维数.本文中我们采用了第二种即基底展开的方式.本文在函数型数据的“高维情形”下,针对样本均值检验问题和函数线性模型的回归算子检验问题,分别提出了非参数的检验统计量,该统计量避免了直接估计协方差算子,同时不需要通过投影的方法将无穷维的函数型数据转化为有限维.这些统计量在高维情况都表现较好,尤其是在小样本或者适中样本量下,明显比传统的检验方法要好.不论在原假设还是局部备择假设下,本文给出了检验统计量的渐近正态分布,以及检验统计量在不同样本和维数下的表现.本论文所研究内容主要分为四章.第一章,回顾函数主成分的性质以及U统计量基本性质,并且给出了经典U统计量以及在高维下的U统计量的性质.第二章,针对两样本的均值曲线是否相等的问题,提出了新的U统计量,并且在原假设下以及备择假设下证明其渐近分布,在备择假设下给出了它的势函数.第三章,针对解释变量是函数型响应变量分别是实值和函数型的形式,响应变量与解释变量是否存在线性关系的问题提出了新的U统计量,并且在原假设下以及备择假设下证明其渐近分布,在备择假设下给出了它的势函数.第四章,总结已有工作的不足以及对未来研究工作的展望.
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