【摘 要】
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发现并利用矩阵的特殊结构对其降阶及其它特殊处理,进而针对相关计算问题设计好的算法是线性系统和数值代数研究的重要思想和基本方法.基于这种思想,本文引进了两类新的特殊
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发现并利用矩阵的特殊结构对其降阶及其它特殊处理,进而针对相关计算问题设计好的算法是线性系统和数值代数研究的重要思想和基本方法.基于这种思想,本文引进了两类新的特殊矩阵,即, k次R -对称矩阵和k次R -同余矩阵,对它们的结构及性质进行了系统的研究和讨论,并解决了两类相关的反问题及其最佳逼近问题.证明了k次R -同余矩阵的线性系统问题可以等价于两个实线性系统问题且其特征问题可转化成两个低阶实矩阵的相应问题;给出了Procrustes问题有Hermite k次R -对称矩阵解的充要条件以及解的表达式,还通过构造（ X,Λ）使得特征值反问题AX = XΛ有k次R -对称矩阵解,并解决了在这种谱约束下的最佳逼近问题.事实上, k次R -对称矩阵是文[1]中A.L.Andrew讨论的中心对称矩阵、文[9]中Chen定义的自反矩阵以及文[10]中Trench引入的R -对称矩阵的推广,因而本文所得结果涵盖了上述文献中的相应结果.更为重要的是利用k次R -对称矩阵的特殊结构可以一次性将其问题转化成多个（≥2）低阶子矩阵的相应问题来处理,这在数值计算中的意义是不言而喻的.主要结果如下:定理A∈Cn×n是k次R -对称矩阵当且仅当其中,如果其它定理令则A = B + iC是k次R -同余矩阵当且仅当A = PAr QT,这里Ar是具有特殊结构的实矩阵.定理若A∈Cn×n是k次R -对称矩阵;令X1 , , Xs为不全为零的向量组,其中
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