对于在有限区间(r0，r1)上的扩散方程u1=uxx，通常加上初始条件u(0，x)=f(x)和两个边界条件p，u(t，r)+(-1)q1ux(t，r)=0，i=0，1，这样得到有经典边界条件的扩散方程。然而，各种概率因素以及长期以来在基因模型中出现的在边界上有概率质量聚集的现象使我们清晰地认识到除了经典的边界条件外还存在一类新的边界条件。从物理的角度说，存在这样的过程，它在边界上被吸收，然后在该点逗留一段有限的时间后又渗入到区域内部。 为刻划这一现象，1954年Feller在边界上引入了有限的逗留时间并且把这类过程称为基本的返回过程’。这是一类重要的过程，Feller指出通过把“基本返回过程”加上任意的“弹性边界过程”我们可以得到与Kolmolgrov向后方程相联系的所有扩散过程。Karlin(1981)指出，对于一个扩散过程非零的逗留时间不可能在区域内部点发生，也就是说指数逗留时间仅仅只在边界点上可能发生。基于这些结果，本论文讨论按以下方式得到的在Dc Rd中的过程：在击中边界以前，过程与在D中的扩散过程一致，当到达边界ζ∈()DD时，过程在该点等待一段独立的服从指数分布的时间，然后离开ζ按分布vζ跳到D内，过程又重新开始。这样的机制在每次击中边界后独立重复地进行。我们把按这种方式得到的过程称为在边界上逗留后随机跳的扩散过程(简写成DHJ)。注意到由于指数逗留时间的无记忆性，这样的过程仍然是马氏过程，但不可逆。通过预解算子的方法，我们得到能唯一决定DHJ过程的生成元；我们证明该过程指数收敛到平稳分布并且收敛速度是某一微分算子的谱隙。从PDE的角度说，在边界上逗留后随机跳的扩散过程对应于非局部边界条件和粘性边界条件。 具体地，本文的结构如下：第一章给出了问题产生的背景，研究现状及本文的主要工作；第二章研究了在边界上逗留后随机跳的布朗运动，我们用预解算子的方法得到其无穷小生成元，因为无穷小生成元的定义域本质上就是预解算子的值域，知道这个值域和微分算子形式就能唯一地决定无穷小生成元；由于DHJ过程产生的半群不是强连续的，为利用强连续半群的一些漂亮性质，在第三章中我们证明其对偶半群是强连续的，然后由谱半径公式得到遍历性并且最后由对偶得到遍历定理；第四章讨论了Feller在1954年引入的更广的一类过程--一维Feller扩散过程，Feller扩散过程允许有从边界到边界的跳发生，即不仅仅局限于从边界到内部的跳，在这一章中，我们给出了一维Feller扩散过程的平稳分布；在第五章，我们讨论了一些相关的问题，给出了DHJ过程对应的PDE问题及特征值与收敛速度的关系。最后，我们讨论了一维Feller扩散过程的首中时问题，给出了首中时的Laplace-Stieltjes变换。