微分方程模型在自然和社会领域都有重要的应用价值,尤其在研究种群的捕食关系和网络传染病的动力学中得到了广泛的应用.在自然环境中,种群的数量不仅与当前的状态有关,也可能与之前的状态有联系,结合过去对现在状态的影响,时滞微分方程在多个领域中扮演了重要的角色.本文利用Lyapunov泛函方法,结合比较原理和LaSalle不变原理,研究了两类具有实际背景的传染病模型,一类是捕食者患病的时滞捕食-食饵模型,另一类是基于复杂网络具有媒介传播的SIRS模型,并探究了这两类模型的动力学性质,主要包括模型解的正性、平衡点的存在性及稳定性等.全文共分为三章.第一章,概述了本文研究模型的应用背景及研究现状,并介绍了本文的主要内容和工作安排.第二章,现有文献表明,在捕食者种群中传播的疾病会破坏原先的捕食者群体,从而在食饵-捕食模型中考虑流行病对我们了解种群模型的动力学特征具有重要意义.在本文中,考虑到疾病的潜伏期,我们构建了具有时滞且捕食者患病的SIS模型,其中不同状态的捕食者捕获食饵时服从不同的功能反应函数,易感捕食者遵循质量作用定律,而染病捕食者服从第Ⅱ类功能反应函数.本文详细地研究了模型解的正性、平衡点的存在性以及平衡点的稳定性和Hopf分岔.另外,本文以疾病的潜伏期作为分岔参数,计算得到了能够判断分岔方向和周期解稳定性的公式.通过数值仿真验证了理论结果的正确性.第三章,经典的传染病仓室模型都是在所有个体均匀混合的假设下建立的,事实上,人群中的社会网络具有异质性,然而仓室模型无法描述这种异质性行为,所以构建接触网络刻画传染病的传播行为更加符合真实情况.考虑到传染病的传播方式有接触传播和媒介传播,本文在异质网络的基础上建立了一类具有媒介传播的SIRS模型.利用再生矩阵法得到了模型的基本再生数R0;另外,当R0<1时,讨论了无病平衡点的存在性和全局稳定性,反之,当R0>1时,分析了正平衡点的存在唯一性及其全局吸引性;最后,利用数值模拟,验证了理论结果的正确性.