凯勒-里奇流（Kahler-Ricci flow）是几何分析和偏微分方程研究中的一个重要课题。自从上世纪八十年代由H.D.Cao在文献[9]中引入之后，经过H.D.Cao，A.Chau, X.X.Chen,G.Perelman,D.Phong, W.X.Shi,J.Song,J.Sturm,G.Tian，B.Weinkove以及X.H.Zhu等人的不断研究完善，凯勒-里奇流已经发展为一个独立的广阔领域，并且渗入到几何研究中的许多不同方面，例如凯勒-爱因斯坦度量的存在性问题，凯勒流形的分类问题以及非凯勒情形下某些几何流的存在性问题等。凯勒-里奇流对这些问题的研究和解决起着重要的推动作用。　　在本文中，我们对一类带有奇性的凯勒-里奇流——锥奇性凯勒-里奇流(conical K(a)hler-Ricci flow)进行针对性研究。我们将主要讨论其长时间解的存在性及收敛性问题。对于光滑的凯勒-里奇流，上述问题已经有了比较完善的研究。但对于带有锥奇性的凯勒-里奇流，这方面的相关研究则刚刚展开。在对带有锥奇性凯勒-里奇流的研究过程中，我们将把它与挠动凯勒-里奇流(twistedKahler-Ricci flow)结合起来讨论。首先，利用挠动凯勒-里奇流光滑逼近的方法，我们得到了锥奇性凯勒-里奇流长时间解的存在性。之后，通过对光滑凯勒-里奇流情形下Perelman估计进行适当改进，我们得到了沿一列挠动凯勒-里奇流的一致Perelman估计。最后，在这些结果的基础上，我们讨论了法诺流形(Fano manifold)上锥奇性凯勒-里奇流的收敛性，得到了下述主要定理:　　定理0.1.设M为一个复维数为n的法诺流形，ω0是第一陈类(the first Chernclass)2πc1(M)中的一个光滑凯勒度量，h是反典范丛(anti-canonical bundle)-KM上曲率为ω0的光滑埃尔米特度量(Hermitian metric)，D∈|-KM|为流形M上的一个光滑除子(smooth divisor)，s为除子D的定义截面(definingsection)。对任意β∈(0，1)，锥奇性的凯勒-里奇流{(a)ω(t)/(a)=-Ric(ω(t))+βω(t)+(1-β)[D](1)ω(t)|t=0=ω0+k√-1(aa)|s|2βh存在唯一的长时间解ω(t)。　　更进一步，如果存在一个沿除子D锥角为2πβ的锥奇性凯勒-爱因斯坦度量(conical Kahler-Einstein metric)ωβ,D，那么ω(t)沿锥奇性凯勒-里奇流(1)一定收敛到度量ωβ,D。这个收敛性在除子D之外是局部的光滑收敛，在流形M整体上是流动形(currents)意义下收敛。　　由前面介绍可知，定理0.1的证明会依赖相关的正则性理论以及一致的Perelman估计等重要结果。在本文中，我们将会对这些理论给予讨论。下面，我们把文章中所涉及的重要结果列举如下。　　一般地，对方程而言，研究其解的整体高阶正则性估计是非常重要的。但是如果解的整体高阶正则性估计并不能满足研究的需要，进而考虑其局部的高阶正则性也是非常有意义的。这里，根据后文中关于锥奇性凯勒-里奇流解的存在性证明的实际需要，我们将研究挠动凯勒-里奇流解的局部高阶正则性估计。值得注意的是，为了得到一列抛物Monge-Ampère方程的解ψε(t)在任意时空区域K×[0，T](CC)(MD)×[0,T]上的各阶一致估计（这里的估计既包含关于空间变量的各阶导数估计也包含关于时间变量的各阶导数估计;一致性体现在该估计不依赖于ε和t），这里我们并没有利用通常的抛物Schauder估计，原因是通常的抛物Schauder估计不能得到零时刻附近的高阶一致性估计，仅可以得到K×[δ,T]上的高阶一致性估计，其中δ＞0并且这个估计依赖于δ。我们的方法是将曲率，(a)ψε(t)/(a)t以及ψ(t)的各阶导数估计和椭圆估计结合起来讨论。　　我们记S=|▽0gψ|2ωψ，其中▽0是关于光滑凯勒度量ω0的共变导数(covariant derivative)，gψ是度量形式ωψ对应的度量张量。同时记Rmψ为度量ωψ的曲率张量，dVω0=ω0n/n!为关于度量ω0的体积元并且满足1/V∫MdVω0=1,D为关于度量ωψ的共变导数。　　命题0.2.设ψ(·，t)为抛物Monge-Ampère方程(a)ψ/(a)t=logωnψ/ωn0+f+γψ(2)的解，其中ωψ=ω0+√-1aaψ，函数f是对应于度量ω0的挠动里奇势函数(twisted Ricci potential，即函数f满足√-1(aa)f=-Ric(ω0)-γω0+θ以及1/V∫Me-fdVω0=1如果存在常数N使得N-1ω0≤ωψ≤Nω0在Bγ(p)×[0，T]上成立。那么一定存在常数C和C"，使得在Bγ/2(p)×[0，T]上，我们有如下估计S≤C/γ2，|Rmψ|2ωψ≤C"/γ4，其中，常数C仅依赖于ω0，N，γ，‖ψ(·，0)‖C3(Bγ(p))以及‖θ‖C1(Br(p));常数C"仅依赖于ω0，N，γ，‖ψ(·，0)‖C4(Br(p))以及‖θ‖C2(Br(p)）。　　更进一步，对任意的k≥0，存在常数C1k，C2k和C3k，使得在Bγ/2(p)×[0，T]上，我们有相应估计|DkRmψ|2ωψ≤C1k，‖ψ‖Ck+1，α≤C2k，‖ψ‖Ck+3,α≤C3k.这里常数C1k，C2k和C3k只依赖于ω0，N，γ，‖ψ(·，0)‖Ck+4(Br(p))，‖θ‖ck+2(Bγ(p))，‖ψ‖C0(Bγ(p)×[0，T]）以及‖f‖C0(Br(p))。　　作为命题0.2的应用，我们考虑一般的锥奇性凯勒-里奇流{(a)ω(t)/(a)t=-Ric(ω(t)+μω（t)+（1-β）[D](3)ω(t)|t=0=ω*长时间解的存在性。在方程(3)中，我们假设了光滑除子D∈|-λKM|(λ∈Q)，μ=1-(1-β)λ，ω*=ω0+k√-1(aa)|s|2βh以及h是线丛-λKM上曲率为λω0的光滑埃尔米特度量。　　记ωε=ω0+k√-1(aa)x(ε2+|s|2h)，ωψε=ωε+√-1(aa)ψε，函数F0为对应于度量ω0的里奇势函数，即满足√-1(aa)F0=-Ric(ω0)+ω0以及1/V∫Me-F0dVω0=1，函数x(ε2+|s|2)=1/β∫|s|2h(ε2+γ)β-ε2β/γdγ.(4)利用挠动凯勒-里奇流长时间解的存在性和命题0.2，我们得到下述定理:　　定理0.3.假设β∈(0，1)。则方程{(a)ψε=logωnψε/ωn0+F0+μ(kx(ε2+|s|2h)+ψε)+log(ε2+|s|2h)1-β(5)ψε|t=0=cε0的解ψε在(MD)×[0，+∞)上局部光滑的收敛到方程{(a)ψ/(a)=logωnψ/ωn0+F0+μ(k|s|2βh+ψ)+log|s|2(1-β)h(6)ψ|t=0=c0的解ψ。　　与此同时，ωψ=ω*+√-1(aa)ψ是锥奇性凯勒-里奇流(3)唯一的长时间解。　　在得到锥奇性凯勒-里奇流(3)长时间解的存在性之后，结合挠动凯勒-里奇流，我们研究挠动第一陈类(twisted first Chern class)C1,β(M)=2πc1(M)-（1-β）[D]为正（即μ＞0）的情形下锥奇性凯勒-里奇流(3)的收敛性。为了使读者更好地理解以及简洁起见，我们只对λ=1，即μ=β时的情形予以讨论。　　首先，我们证明沿一列挠动凯勒-里奇流{(a)ωε(t)/(a)t=ic(ωε(t))+βωε(t)+θε(7)ωε(ε)| t=0=ωε一致的Perelman估计，其中θε=(1-β)(ω0+√-1(aa)log(ε2+|s|2h))是一光滑的闭的正定(1，1)-形式。　　我们通过对挠动凯勒-里奇流情形下Perelman估计所依赖的初始几何条件进行深入研究，发现沿挠动凯勒-里奇流(7)的一致Perelman估计主要依赖于初始度量的挠动数量曲率R(gε(0))-trgε(0)θε和索伯列夫常数Cs(M，gε(0))。但是当β∈(1/2，1)时，挠动数量曲率并不是一致有界的。为了克服这个困难，我们不再直接利用初始度量的几何条件，而是考虑挠动凯勒-里奇流(7)在有限非零时刻（比如t=1时刻）相关几何量的一致有界性。通过这个改进，我们证明了对任意的β∈(0，1)，当t≥1时沿挠动凯勒-里奇流(7)的一致Perelman估计。这对我们研究锥奇性凯勒-里奇流(1)的收敛性起到了关键作用。　　定理0.4.设gε(t)是挠动凯勒-里奇流(7)的解，即其对应的凯勒形式ωε(t)满足方程(7)。令uε(t)∈C∞(M)是对应于度量gε(t)的挠动里奇势函数，即uε(t)满足方程-Ric(ωε(t))+βωε(t)+θε=√-1(aa)uε(t)(8)和正规化条件1/V∫M e-uε(t)dVεt=1对任意的β∈(0，1)，存在一致的常数C，使得对任意的t≥1和ε＞0，都有以下估计|R（gε（t）-tγgε(t)θε≤C，‖uε(t)‖c1(gε(t))≤C，diam(M，gε(t))≤C，其中R(gε(t))-tγgε(t)θε和diam(M，gε(t))分别是对应于度量gε(t)的挠动数量曲率(twisted scalar curvature)和流形直径。　　结合上述一致的Perelman估计，通过对方程(5)在μ=β时选择初值条件ψε(0)=1/β{1/V∫+∞0 e-βt‖▽uε(t)‖2L2dt-1/V∫Mkβx(ε2+|s|2h)dV-∫M{F0+log（ωnε/ωn0·（ε2+|s|2h)1-β）}dVε}(9)利用挠动MabuchiK-能量泛函Mω0,θε在光滑凯勒势函数空间H(ω0)上的一致正则性性质(properness)，沿挠动凯勒-里奇流(7)的一致索伯列夫不等式(Sobolev inequality)以及一致的加权庞加莱不等式(weighted Poincaré inequality)，我们可以得到方程(5)的解ψε(t)是一致C0有界的。众所周知，在光滑凯勒-里奇流的收敛性讨论中，获取解的C0估计起着重要作用。同样，在本文中讨论锥奇性凯勒-里奇流(1)的收敛性时，上述的一致C0估计也是至关重要的。　　定理0.5.设ψε(t)是方程(5)在μ=β时满足初值条件(9)的一个解。如果挠动Mabuchi K-能量泛函Mω0，θε在函数空间H（ω0）上具有一致的正则性性质，则存在一致的常数C，使得对任意的t＞0以及ε＞0，我们有‖ψε(t)‖C0≤C.(10)　　下面我们来考虑锥奇性凯勒-里奇流的收敛性。如果在法诺流形M上存在一个沿除子D锥角为2πβ的锥奇性凯勒-爱因斯坦度量ωβ,D,通过其存在性与相应能量泛函正则性之间的关系，定理0.5以及局部的一致正则性估计（见定理0.2），我们利用对角线法则可以得到一时间序列{ti}，使得锥奇性凯勒-里奇流(1)的解ω(ti)随时间ti→∞收敛到一个沿除子D锥角为2πβ的锥奇性凯勒-爱因斯坦度量ω∞。最后结合锥奇性凯勒-爱因斯坦度量的唯一性，我们证明了ω(t)一定收敛到度量ω∞=ωβ,D，这个收敛在除子D之外是局部的光滑收敛，在流形M整体上是流动形意义下收敛。事实上，我们证明了关于锥奇性凯勒-里奇流(1)收敛性的下述定理:　　定理0.6.设β∈(0，1)。如果存在一个沿除子D锥角为2πβ的锥奇性凯勒-爱因斯坦度量ωβ，D，那么对应的带有锥奇性的凯勒-里奇流(1)一定收敛到度量ωβ，D。这个收敛在除子D之外是局部的光滑收敛，在流形M整体上是流动形意义下收敛。