【摘 要】
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分数阶微分方程的数值解是世界各地许多研究人员关注的话题,其中一个原因是分数阶微分方程可以对许多自然物理现象提供更好的数学解释.由于多项分数阶微分方程的非局部性,它在许多领域有着重要的理论研究和广泛的应用.本文在探究了分数阶微分方程解的存在性的基础上,继续深入研究了三类多项分数阶问题的数值模拟.本文首先利用不动点定理从理论上证明了分数阶微分方程解的存在性和唯一性.其次,在数值上采用再生核样条伽辽金方
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分数阶微分方程的数值解是世界各地许多研究人员关注的话题,其中一个原因是分数阶微分方程可以对许多自然物理现象提供更好的数学解释.由于多项分数阶微分方程的非局部性,它在许多领域有着重要的理论研究和广泛的应用.本文在探究了分数阶微分方程解的存在性的基础上,继续深入研究了三类多项分数阶问题的数值模拟.本文首先利用不动点定理从理论上证明了分数阶微分方程解的存在性和唯一性.其次,在数值上采用再生核样条伽辽金方法对多项分数阶微分方程进行了研究.构造再生核样条函数作为解空间的基函数,通过基函数特定的线性组合形成了方程的近似解并以伽辽金方法逼近精确解.并且,通过有效的推导过程进行了算法的误差估计,并提出了收敛性分析.数值算例表明了该方法的精确性和有效性.全文由以下五个章节构成.第一章,对所要研究的问题的背景以及发展概况做简要介绍并提出所要研究的内容.第二章,给出研究问题需要的预备知识,介绍了再生核、样条函数、分数阶微分算子以及不动点定理的内容和性质,为接下来的计算和证明做准备.第三章,通过Banach不动点定理和Krasnoselskii不动点定理证明了不同阶数分数阶微分方解的存在性,为探究其数值解做铺垫.第四章,利用再生核样条伽辽金方法构造常系数拟线性多项分数阶微方程和变系数拟线性多项分数阶微方程的数值解.在此基础上,给出算法的误差估计和收敛性分析.通过几个数值算例验证了稳定性和有效性并计算了收敛速度.第五章,利用再生核样条伽辽金方法分析了变阶分数阶微分方程,同样展示了误差估计与收敛性分析并计算相应的数值算例.
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