【摘 要】
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双层优化问题在许多领域有着广泛的应用,也是很多学者研究的热点,它包括双层变分不等式,双层均衡问题和双层规划等问题.本文主要研究Hilbert空间中几类单调双层均衡问题,提出若干算法来寻求这些问题的解,在适当的条件下证明所给算法的强收敛性,其成果改进和推广之前文献中的相应结果.全文共分为七个章节.第一章介绍了均衡问题及变分不等式问题,不动点问题的研究意义和目的,给出了单调双层均衡问题研究背景及现状,
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双层优化问题在许多领域有着广泛的应用,也是很多学者研究的热点,它包括双层变分不等式,双层均衡问题和双层规划等问题.本文主要研究Hilbert空间中几类单调双层均衡问题,提出若干算法来寻求这些问题的解,在适当的条件下证明所给算法的强收敛性,其成果改进和推广之前文献中的相应结果.全文共分为七个章节.第一章介绍了均衡问题及变分不等式问题,不动点问题的研究意义和目的,给出了单调双层均衡问题研究背景及现状,并简述了本文的主要工作.第二章给出了文中将要用到的一些基本概念和基本理论.第三章研究具有公共不动点和广义变分不等式系统约束的单调双层均衡问题.根据一个隐式次梯度外梯度公式,构造新的迭代算法去求解带约束的单调双层均衡问题,并在参数满足适当的条件下,证明了迭代算法的强收敛性,并将该算法应用到求解广义变分不等式系统,变分不等式和不动点问题的公共解.数值案例说明了理论结果的可行性.第四章继续研究具有公共不动点和广义变分不等式系统约束的伪单调双层均衡问题.在第三章的研究基础上,参考隐式次梯度外梯度公式,研究基于隐式Mann型的次梯度外梯度迭代方法,借助非扩张映像和渐近非扩张映像的半闭原理去逼近伪单调双层均衡问题的解,选取适当的参数,证明了迭代算法的强收敛性.最后优化算法得到新的算法,数值试验说明了理论结果的可行性并比较算法的收敛速度.第五章研究一类新的单调双层均衡问题,扩展前两章所研究的问题,提出具有公共不动点和广义变分不等式系统约束的混合双层均衡问题.为提高算法精度,基于隐式中点公式,提出新的基于隐式中点格式的次梯度外梯度迭代算法去逼近所研究问题的公共解,并在参数满足适当的条件下,证明了迭代算法的强收敛性.数值试验说明了理论结果的可行性.第六章进一步研究混合双层均衡问题.在第五章研究的基础上,为提高算法效率,基于惯性方法,建立适当的迭代算法去逼近混合双层均衡问题的解,并在参数满足适当的条件下,证明了迭代算法的强收敛性.数值试验说明了理论结果的可行性.第七章总结本论文所作工作以及对未来研究的展望.
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