本文主要研究了两类数域上的整基，三次域和分圆域，并利用代数数域解决了不定方程的整根存在性问题。　　 第一章介绍了数论的发展过程，费马大定理的提出为代数数论的发展奠定了基石，费马定理的解决过程是代数数论建立和发展的过程。高斯，库默尔，戴德金和中国的华罗庚，冯克勤为代数数论的发展做出了不朽的贡献研究。　　 二次域中的整基，单位问题都已完全解决，三次域中的整基问题还有尚不清楚的地方，连循环三次域的整基问题也没完全清楚。纯三次域的整基的形式已经给出，本文第二章提出一个简单的方法找出三次域中的一组整基，从而判定这个域的判别式。　　 根据三次域中的整基和单位可以解决三次不定方程的整根存在性问题，这是个很复杂的问题，但也是数论中应该了解的部分，虽然有用同余和递归数列的方法来解决不定方程的整根存在的问题，但在域中解决不定方程的方法最为广泛。本文第三章作者就在三次域中解决了不定方程x3-6x-3=3y2的整根存在性问题。　　 整基有几种特殊的类型，幂元整基，正规整基，相对整基。这几种特殊的类型是人们的兴趣所在，我们已经知道二次域和分圆域上的是存在幂元整基的，本文第四章主要研究了分圆域Q(ζ21)在Q上的幂元整基生成元，并指出在等价的前提下幂元整基的生成元是有限的，本文还给出了Q(ζ21)的幂元整基的所有生成元。