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为了研究量子群的典范基和代数群的整体正性之间的联系,Fomin和Zelevinsky在文[FZ1,FZ2]中引入了丛代数的概念.作为这一类代数的一个范畴化模型,文[BM-RRT]引入了丛范畴的概念及其倾斜理论.关于An型丛范畴,也可参见文[CCS1].设A是代数闭域上的有限维遗传代数,Db(A)是它的有界导出范畴.令F=τ-1[1],其中τ是Db(A)的Auslander-Reiten变换,[1]是Db(A)的平移函子.则丛范畴C(A)定义为轨道范畴Db(A)/F.由文[K],丛范畴是三角范畴,而且是Calabi-Yau维数为2的Calabi-Yau范畴.现在丛范畴已经成为acyclic丛代数及其组合的一个成功的模型.
作为丛范畴的推广,文[Th]引入了m丛范畴Cm(A),其定义为轨道范畴Db(A)/Fm,这里Fm=τ-1[m].由文[K]知,m丛范畴是三角范畴,而且是Calabi-Yau维数为m+1的Calabio-Yau范畴.类似于丛范畴理解丛组合的方式,m丛范畴为Fomin和Reading定义的m丛组合提供了一种好的代数理解.
对于代数闭域上的有限维遗传代数A,文[AI]定义了A的m-replicated代数A(m).由文[ABST2],这-类代数给出了m丛范畴及其丛倾斜对象一种很好的解释,即投射维数不超过m的(广义)倾斜A(m)-模一一对应于Cm(A)中的丛倾斜对象.当m=1时,也就是duplicated代数情形,参见文[ABST1].这引起了我们进一步研究这类代数的兴趣.
文[BMR1]引入了丛倾斜代数的概念,这类代数和丛范畴一起为丛代数及其组合提供了一种好的代数理解.丛倾斜代数也给传统的倾斜理论带来了一种新的视角.作为丛倾斜代数的Galois覆盖,广义丛倾斜代数在文[Zh4]中引入.它们和丛倾斜代数都是Gorenstein维数至多为1的Gorenstein代数.这引起了我们对丛倾斜代数及广义丛倾斜代数倾斜理论的研究兴趣.
本文第一章给出引言和预备知识.介绍了与本论文有关的基本概念和重要结果,以及研究发展概况,较全面阐述论文的工作背景和思路.
在第二章,受文[ABST2]的启发,我们利用代数闭域上有限维遗传代数的m-replicated代数来研究m丛范畴.我们首先考察了任意忠实的几乎倾斜A(m)-模的互不同构的不可分解补的性质,定义了mod A(m)中的mutation序列.最后我们利用mod A(m)中的偏mutation序列实现了m丛范畴中的m-cluster mutation.主要结果如下:
定理2.2.4.设T是(广义)倾斜A(m)-模,B=EndA(m)(T).则代数B的底图没有方向圈.
定理2.2.6.设T是忠实的几乎倾斜A(m)-模,T有t+1个互不同构的不可分解补X0,…,Xt,2m≤t≤2m+1.则
并且,第i个连接序列
0→Xi→Ti→Xi+1→0
是Ext1A(m)(Xi+1,Xi)的一组k-基,进而,对0≤i≤t-1和0≤i+s≤t,正合列
0→Xi→Ti→Ti+1→…→Ti+8+1→Xi+1→0
是Ext8A(m)(Xi+8,Xi)的一组k-基.
定理2.2.11.设N是mod A(m)的m-左部分Lm(A(m))的偏mutation序列,且N有m+1个元素{X0,X1,…,Xm}.则存在忠实的几乎倾斜A(m)-模T,使得T()Xi,0≤i≤t都是(广义)倾斜A(m)-模.
定理2.3.2.设(T)是Cm(A)中的几乎丛倾斜对象,则(T)恰好有m+1个互不同构的不可分解补.
定理2.3.6.设(T)=π(T′)是Cm(A)中的几乎丛倾斜对象,T=T′()P是投射维数不超过m的忠实的几乎倾斜A(m)-模,其中P是所有不可分解投射-内射A(m)-模的直和.设X0,…,Xm是T的m+1个投射维数不超过m的互不同构的不可分解补.则由mood A(m)中的m个连接序列诱导的Cm(A)中的(m+3)-angle恰好就是Auslander-Reiten(m+3)-angle.
在第三章,我们主要研究代数闭域上的有限维遗传代数A的m-replicated代数A(m)的某些同调维数,包括A(m)的表示维数,支配维数,mood A(m)中的所有生成子余生成子的自同态代数的整体维数.主要结果如下:
定理3.1.2.A(m)的表示维数小于等于3.
定理3.1.5.A(m)的支配维数大于等于m.
定理3.2.2.设A是代数闭域上的有限表示型遗传代数,整数d≥2.则存在mood A(m)的生成子余生成子M使得gl.dim EndA(m)(M)=d的充要条件是存在一条长度大于等于d的T-轨道.
定理3.2.11.设A是代数闭域上的无限表示型遗传代数,d或者是-个大于等于3的整数,或者是∞.则存在mod A(m)的生成子余生成子M,使得gl.dim EndA(m)(M)=d.
第四章,我们考察丛倾斜代数和广义丛倾斜代数之间的关系,证明了丛倾斜代数的任意倾斜模可以提升为相应的广义丛倾斜代数的倾斜模,并初步讨论了广义丛范畴中的丛倾斜对象,极大例外对象和完全例外对象之间的关系.主要结果如下:
定理4.2.5.丛倾斜代数的任意倾斜模可提升为相应的广义丛倾斜代数的倾斜模.
命题4.2.7.在广义丛范畴CFm(A)中,
(1)丛倾斜对象一定是极大例外对象；
(2)丛倾斜对象一定是完全例外对象；
(3)设M是极大例外对象,则δ((M))≤mn；
(4)完全例外对象一定是极大例外对象；进而若(N)()m-1()FiNi是CFm(A)中的完全例外对象,其中对于所有0≤i≤m-1,Ni都是C(A)中的对象,则Ni都是C(A)中的丛倾斜对象.