拓扑绝缘体的成功制备激发人们去寻找更多的新奇量子态。例如，人们预言在磁掺杂的拓扑绝缘体中可能会产生马约拉纳费米子，拓扑磁电效应以及所谓的量子反常霍尔效应。量子反常霍尔效应可以看成是一半的拓扑绝缘体，它的诱人之处在于它不需要外加的强磁场就能产生量子化的霍尔电导。除此之外，拓扑超导体也是一个很有意思的系统，人们预言它表面会出现马约拉纳费米子，这种费米子有可能会在将来的拓扑量子计算中发挥重要作用。由于拓扑绝缘体已经在实验上成功制备，如何寻找合适的材料来实现上述几种拓扑量子态成为了这个领域的一个研究热点。在这篇论文中，我将介绍在这方面所做的一些工作。首先我会简要回顾一下理解和预测这些新奇量子现象所需要的方法工具，然后我会介绍我们的具体工作如下:　　1.硅烯是一种很有意思的二维拓扑绝缘体，它和石墨烯很类似，但是不同之处在于它具有比较大的自旋轨道耦合作用，另外它和现在的硅基半导体产业也天然兼容。通过解析模型和第一性原理计算表明通过特定的3d过渡金属元素掺杂（比如钒），硅烯系统会产生稳定的量子反常霍尔效应。同时也预测在这些掺杂系统中会出现量子能谷霍尔效应和电场可调的拓扑量子相变。我们的这些发现提供了一个新的实现量子反常霍尔效应和电场可调拓扑量子相的平台。　　2.最近发现的掺杂拓扑绝缘体(CuxBi2Se3)中的超导现象引起了人们广泛的兴趣，原因在于这个系统有可能是第一个三维拓扑超导体，但是人们对这个体系微观配对机制的理解远没有清楚。通过精确的第一性原理计算了这个体系的电声耦合相互作用及其对超导的作用。我们的结果表明CuxBi2Se3中电声散射过程由布里渊区中心及边缘的声子主导，在这些区域声子也表现除了有趣的声子硬化和软化的共存现象。但是得到的电声耦合常数表明由电声耦合相互作用贡献的超导转变温度比实验结果（体态非均匀样品）要低两个数量级，说明单独的电声耦合作用并不能解释这个体系的超导。进一步讨论由非均匀掺杂引起的超导转变温度的提升。