矩阵不等式是矩阵理论十分重要的内容，几乎贯穿矩阵理论的始终，它的迅速发展为我们解决算子理论中的相关不等式问题提供了便利。本文主要通过对矩阵迹不等式性质的研究以及一些巧妙的证明方法，得到矩阵迹、算子迹的一些结果，并在Tsallis熵、Tsallis相对熵和BMV猜想的基础上讨论了Furuichi等人的一些工作。　　课题主要研究的内容：　　第一部分是前言：主要介绍与本课题相关的知识背景，国内外的发展状况及应用领域，近年来取得的成果。　　第二部分是主要内容：　　第一章：符号与定义　　主要介绍本文用到的矩阵与算子理论的一些符号、基本概念和定义以及一些重要的基本矩阵与算子迹不等式。　　第二章：一类商和式矩阵的迹不等式　　这一章节根据四个商和式实数不等式，得到其推广到矩阵论中的相关结论。　　第三章：Fan-Todd不等式在矩阵论及算子中的推广　　这一章节主要内容是通过矩阵迹的Cauchy-Schwarz不等式及相关性质，将Fan-Todd不等式从实数推广到矩阵与算子理论中，得到新的矩阵迹不等式。　　第四章：迹不等式和量子熵　　这一章节从Tsallis熵出发，介绍近年来许多工作者在熵方面获得的结果，并讨论在著名的BMV猜想上提出的Furuichi等人的一些研究成果。