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三维流形组合拓扑理论是低维拓扑学的一个重要分支.通过Heegaard分解来研究三维流形是三维流形拓扑中的重要方法之一.Casson和Gordon在1987年引入了弱可约的Heegaard分解的思想,极大地推动了组合拓扑学中Heegaard分解理论的研究进程.Hempel在2000年引入Heegaard分解的距离的思想,不仅拓广了Casson-Gordon的理论,更使得Heegaard分解理论的研究空前活跃,在很多非常困难的问题的研究上取得了很多重大的突破. 本文主要讨论三维流形的Heegaard分解的融合,主要结果给出了若干情形下融合后的三维流形的亏格非退化的一些充分条件,具体结果如下: 1.设M是一个紧致、可定向的连通三维流形,F是M中一个分离的本质闭曲面.F将M切成M1和M2.如果Mi有一个Heegaard分解Vi∪SiWi满足D(Si)≥ti,这里ti是介于1和2g(Mi)1之间的整数,i=1,2.那么 g(M)≥12(t1+t2+1)g(F). 2.设Mi是一个紧致、可定向的连通三维流形,Fi是Mi中一个不可压缩的边界分支,g(Fi)≥1且F1～=F2.:F1→F2是一个同胚,M=M1∪M2,F=F2=(F1).那么 (1)如果Mi有一个Heegaard分解Vi∪SiWi满足D(Si)≥2g(Mi)1,i=1,2.那么g(M)=g(M1)+g(M2)g(F); (2)如果Mi有一个Heegaard分解Vi∪SiWi满足D(Si)≥2g(Mi)+1,i=1,2.那么g(M)=g(M1)+g(M2)g(F)且M的最小亏格的Heegaard分解在合痕的意义下是唯一的. 3.设Ki是闭三维流形Mi中的纽结,(Mi,Ki)(S2×S1,x0×S1),其中S2是一个二维球面,x0∈S2,i=1,2.(M,K)=(M1＃M2,K1#K2).如果纽结Ki的任何纬线本质曲面Fi满足χ(Fi)≤12t(Ki),i=1,2.那么t(K)≥t(K1)+t(K2).更进一步地,在上面的假设前提下,如果E(K1)和E(K2)的任何最小亏格的Heegaard分解的距离大于或等于3,那么t(K)=t(K1)+t(K2)+1. 4.设Ki是闭三维流形Mi中的纽结,i=1,2且(M,K)=(M1#M2,K1#K2).那么 (1)如果纽结的补E(Ki)有一个Heegaard分解Vi∪SiWi满足D(Si)≥2t(Ki)+1,i=1,2,那么t(K)≥t(K1)+t(K2); (2)如果纽结的补E(Ki)有一个Heegaard分解Vi∪SiWi满足D(Si)≥2t(Ki)+3,i=1,2,那么t(K)=t(K1)+t(K2)+1. 最后证明了三维流形的相对亏格在连通和运算下的可加性.