【摘 要】
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由于自然环境中普遍存在各种随机因素,在微生物的连续培养以及微生物的絮凝收集过程中难免会受到随机因素的影响.基于絮凝法收集微生物的机理,本学位论文构建并研究了几类随机微生物絮凝模型.主要利用随机微分方程理论、常微分方程理论,并结合数值模拟,研究了所构建的模型的全局动力学,得到了一些具有实际生物学意义的控制策略,观察到一些与确定性模型的动力学行为完全不同的随机动力学行为.本学位论文具体包含研究内容如下
【基金项目】
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国家自然科学基金； 北京市自然科学基金；
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由于自然环境中普遍存在各种随机因素,在微生物的连续培养以及微生物的絮凝收集过程中难免会受到随机因素的影响.基于絮凝法收集微生物的机理,本学位论文构建并研究了几类随机微生物絮凝模型.主要利用随机微分方程理论、常微分方程理论,并结合数值模拟,研究了所构建的模型的全局动力学,得到了一些具有实际生物学意义的控制策略,观察到一些与确定性模型的动力学行为完全不同的随机动力学行为.本学位论文具体包含研究内容如下:第三章中,构建了一类具有互补型营养物质的随机微生物絮凝模型.首先,考虑了该随机模型的适定性.然后,通过构造适当的随机Lyapunov函数,给出了该随机模型遍历平稳分布的存在性和平均持久性的充分条件,这也蕴含着恒化器内的微生物可以被持续收集.此外,基于灵敏度分析方法,给出了微生物可持续收集的控制策略.最后,进行了一些数值模拟以说明理论结果的应用.并给出了数值形式的经验概率密度.特别是数值模拟表明,当环境随机扰动较大时,恒化器内微生物的生长可以从趋于灭绝的状态转变为持续生存的状态.这一发现揭示了随机扰动可能具有积极的生物学效应,我们称之为噪声诱导的随机跃迁现象.第四章中,在第三章的基础上,考虑到季节性变化的影响,研究了一类具有互补型营养物质和周期参数的随机非自治微生物絮凝模型.通过理论分析和数值模拟,研究了该随机非自治模型的动力学行为.考虑了随机非自治模型的适定性.进一步,利用周期马尔可夫过程的Khasminskii理论,得到了该随机非自治模型的随机非平凡正周期解存在性的充分条件.随机非平凡正周期解的存在性意味着微生物种群密度的周期性变化.并给出了该随机非自治模型的边界周期解全局吸引性的一些充分条件.最后,通过数值模拟验证了本章的理论结果.数值模拟发现,相应确定性非自治模型的稳定正周期解与稳定边界周期解可以共存.对于适当的随机扰动,处于某些密度范围的微生物种群可以从趋于灭绝的状态变为持续振荡生存的状态.第五章中,进一步研究了一类具有互补型营养物质,一般功能反应函数的确定性微生物絮凝模型及其随机微生物絮凝模型.对于确定性微生物絮凝模型,讨论了解的适定性、耗散性以及平衡点的前向/后向分支的存在性.给出了边界平衡点的全局渐近稳定性的充分条件.证明了当基本再生数大于1时,该模型是一致持久的,并利用不同于已有文献中的持久性方法给出了微生物种群最终下界的显式估计.对于随机微生物絮凝模型,通过建立两个阈值来分析遍历平稳分布的存在性,当不考虑随机扰动时,两个阈值自动退化为基本再生数.此外,还给出了微生物种群灭绝的充分条件.数值模拟结果表明,噪声激励会使微生物种群演化趋势的预测和控制变得更加困难和复杂.第六章中,考虑了一类具有可替代型营养物质,一般功能反应函数的高维随机微生物絮凝模型.分析了该随机模型的解的渐近行为,得到了可行的微生物可持续收集的控制策略.主要理论结果是成功地获得了高维随机微生物絮凝模型的持久性和灭绝性的充分条件,对现有文献以及第五章中的一些结果进行了拓展.此外,数值模拟直观地展示了随机模型的统计学特性,并且该随机模型同样会出现随机跃迁现象.本学位论文的主要创新点概括为:1.考虑到自然环境中不可忽略的随机因素,构建并研究了一类具有互补型营养物质的随机微生物絮凝模型,通过构造合适的随机Lyapunov函数,得到了与随机模型的平稳分布存在性有关的阈值,且该阈值能退化到相应确定性微生物絮凝模型的基本再生数.2.针对一类具有互补型营养物质和周期参数的随机非自治微生物絮凝模型,利用周期马尔可夫过程的Khasminskii理论,通过技巧性地构造辅助函数,得到了该随机非自治模型的随机非平凡正周期解存在性的充分条件以及边界周期解全局吸引性的一些充分条件.3.针对一类具有互补型营养物质,一般功能反应函数的确定性微生物絮凝模型及其随机微生物絮凝模型,得到了确定性微生物絮凝模型的持久性并给出了微生物种群最终下界的显式估计,改善了已有文献中的结果;通过构造新的随机Lyapunov函数,克服了一般功能反应函数带来的困难,得到了随机微生物絮凝模型的平稳分布存在性的阈值条件,拓展了第三章中的结果;得到了微生物种群灭绝的条件,改善了第三章中的结果.4.构建了一类具有可替代型营养物质,一般功能反应函数的高维随机微生物絮凝模型.通过精细地分析,得到了更普适性的随机微生物絮凝模型的持久性和灭绝性的结果.
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