【摘 要】
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近年来,随着科学技术的飞速发展,分数阶偏微分方程已经被广泛应用于不同的科学领域,如在量子力学、地球流体力学、生物数学等领域中得到了广泛的应用.对于分数阶偏微分方程的研究,不仅有助于我们在数学技巧和方法上进行有益的探索和开发,进而促进本学科及相关领域理论的进一步发展,同时也有助于我们加深对一些复杂物理现象的理解并进行有效的数学刻画与描述,具有重要的理论意义和实际应用价值.本文主要研究以下几个分数阶偏
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近年来,随着科学技术的飞速发展,分数阶偏微分方程已经被广泛应用于不同的科学领域,如在量子力学、地球流体力学、生物数学等领域中得到了广泛的应用.对于分数阶偏微分方程的研究,不仅有助于我们在数学技巧和方法上进行有益的探索和开发,进而促进本学科及相关领域理论的进一步发展,同时也有助于我们加深对一些复杂物理现象的理解并进行有效的数学刻画与描述,具有重要的理论意义和实际应用价值.本文主要研究以下几个分数阶偏微分方程解的性质:空间分数阶Ginzburg-Landau方程、空间分数阶修正Zakharov方程,Quasi-geostrophic方程以及时间分数阶扩散方程,主要内容分为四个部分.第一部分,本文考虑如下空间分数阶Ginzburg-Landau方程-idut =（-dg2+1/U+a）u +g[a+d（2v-2μ）]φ-c/4mΛ2αu-g/4m（c-d）Λ2αφ-b｜u + gφ｜2（u + gφ）-idf（x）,iφt =-iβφ-gUu+（2v-2μ）φ+ 1/4mΛ2αφ+ih（x）,u（x,0）= u0（x）,φ（x,0）= φ0（x）,x ∈ Rn,u（x + 2πei,t）= u（x,t）,φ（x + 2πei,t）= φ（x,t）,x ∈ Rn,t ≥ 0,结合Galerkin方法和精细的先验估计,我们首先研究了方程弱解的整体存在性,进一步,利用整体吸引子存在定理,证明了整体吸引子的存在性最后,我们考虑方程在乘积噪声下解的长时间行为,即随机吸引子的存在性.第二部分,本文考虑如下具有量子效应的分数阶修正Zakharov方程i（?）tE +（?）xxE-H2Λ2αE = nE,（?）ttn-（?）xxn + H2Λ2βn =（?）xx（｜E｜2）,x ∈ R,t ≥ 0,E（x,0）= E0（x）,n（x,0）= n0（x）,（?）tn（x,0）= n1（x）,E（x + 2π,t）= E（x,t）,n（x + 2π,t）= n（x,t）,（?）tn（x + 2π,t）=（?）tn（x,t）,利用精细的先验估计和Galerkin方法,我们得到了方程弱解的整体存在性,并进一步研究了弱解的正则性.利用Strichartz估计和不动点定理我们得到了强解的局部存在性,并利用先验估计,将其延拓到[0,T],对任意的T>0,得到强解的整体存在性.第三部分,本文考虑如下带可加噪声的耗散Quasi-geostrophic方程ut+u.▽u +κΛ2αu+ λu = f + f+m∑j=1Φjdω,x ∈T2相应的初始条件为u（t0,x）= u0（x）.且▽· u = 0.利用Ornstein-Uhlenbeck变换将带可加噪声的耗散的Quasi-geostrophic方程变成带随机系数的Quasi-geostrophic方程,结合先验估计和紧性嵌入理论,我们得到了随机动力系统在零时刻存在紧的吸收集,从而可以判定方程在周期区域上随机吸引子的存在性.第四部分,本文考虑如下一类耦合的时间分数阶扩散方程（?）αtu（x,t）= Lu（x,t）+ F1（u,u）,（?）αtu（x,t）= Lu（x,t）+ F2（u,u）,u = v = 0onx∈（?）Ω,t ∈(0,T],u｜t=0 = α1（x）,u｜t=0 = α2（x）,x ∈ Ω,利用特征函数展开的方法,首先将方程的解用Mittag-Leffler函数表示,再结合Mittag-Leffler函数的性质和能量方法,我们得到了方程弱解的存在性和唯一性,并进一步研究了方程解的正则性.
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